Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
a [...^((Г1 {у ?„})•••]
й! •¦?*•••] I д (•••«*•••) J
=[<8|"^11Х::.’Г"|)''Т‘- (10-8)
Значение выражения в левой части при qk = pk (Q) равно значению выражения в правой части при ek = pk(E). Тогда для (10,3) можно написать
g(Q)=gо [~f/—Д(Q {<?1......................вп})] ]~‘. (ю.9)
причем е1 = р1(Е), .... еп — рп(Е) (см. пример на стр, 182).
Фактический расчет функции плотности g(R) для интеграла Гурвица часто весьма трудоемок, если непосредственно вычислять величины в (10.3) или (10.9). Для многих целей (в частности, для вывода соотношений ортогональности гл. 9 применительно к непрерывным группам) требуется лишь знать, что инвариантный интеграл существует.
6. Для смешанных непрерывных групп интеграл Гурвица может быть выражен через интеграл Гурвица для той части группы, которая связана с единичным элементом. Обозначим область, связанную с единичным элементом, через ©j, а остальные связные области — через ®2, ©з> •••>
Элементы области ©j образуют подгруппу (фактически, инвариантную подгруппу), причем ®v являются смежными классами по этой подгруппе, как мы уже видели на стр. 119. Если взять по одному элементу, например А„ из каждой области @v, то путем умножения на область ©j можно спроектировать на ©v. Так
122
Глава 10
как веса областей, которые могут быть спроектированы одна на другую, равны, то интеграл
/ [J{K) + J(AiR) + ... + J(A?R)]dR = = J [J(SR) + J(SA2R)+ ... +J(SApR)]dR, (10.10)
о,
взятый по ©р инвариантен относительно умножения элементов группы на произвольный элемент группы 5. Таким образом, интеграл Гурвица для полной группы инвариантен, если Г ... dR
о,
означает интеграл Гурвица для просто непрерывной подгруппы ©1# Так как Л,Я пробегает все элементы смежного класса ©„ когда Я пробегает подгруппу ©j, то для каждого смежного класса по ©j в левой части (10.10) появляется по одному члену. Но правая часть (10.10) также включает по одному члену для каждого смежного класса; смежный класс ©v = Av©j представлен членом, в который входит SA^R, если = ^©j является смежным
классом, содержащим Покажем, что
Г J(A„R)dR= Г J(SA^R)dR, (10.11)
откуда следует, что соответствующие члены в правой и левой частях (10.10) равны.
Пусть содержится в смежном классе ^©j. Пусть также
т. е. Л(1 = 5-1Л,7-1, где Т содержится в подгруппе ©j. Тогда подстановка этого выражения в (10.11) дает
J У(Л,Я)</Я = / j(S-S~lAJ~lR)dR = f J(AJ~lR)dR.
Это соотношение, очевидно, справедливо, так как его правая часть отличается от левой только тем, что вместо Я стоит T~lR,
а, согласно гипотезе, интеграл Гурвица по ©j инвариантен относительно такой подстановки (Т 1 является элементом ©j).
Это показывает эквивалентность выражения (10.10) интегралу Гурвица для полной смешанной непрерывной группы и Одновременно сводит его к интегралу, взятому по той части группы, которая просто связана с тождественным элементом. (Вся эта аргументация справедлива, разумеется, не только для ©j, но и для любой подгруппы с конечным индексом.)
Непрерывные группы
123
7. Из соотношения (10,5) следует точно так же, как и для конечных групп, что всякое представление можно преобразовать в унитарное (гл. 9, теорема 1), если только сходится интеграл
/ D(R)x,D(R)l,dR.
Это всегда выполняется, если только объем группы J dR конечен,
как, например, в случае группы вращения. Соотношение ортогональности для коэффициентов представлений (гл. 9, теорема 4) принимает вид
/ Db) (RtxD^ (R\'v dR = (10.12)
где /, — размерность представления D(,) (/?). В соответствии с этим соотношение ортогональности (9.33) для характеров принимает вид
/x('’WX(’')(?)d? = 8,v $ dR. (10.13)
Глава -11
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ
1. Рассмотрим уравнение Шредингера Н^ = ?'ф для системы, состоящей из двух тождественных частиц. Примем ради простоты, что каждая частица имеет одну степень свободы; пусть их координатами будут х и у. Тогда
Нф = — + У) + У(*. УЖ*. У) = Щ(х, у),
(ИЛ)
где т — масса каждой из частиц. Так как частицы тождественны, потенциальная энергия должна быть одинаковой как в случае, когда первая частица находится в положении а, а вторая — в положении Ь, так и в случае, когда первая находится в а вторая — в а. Иначе говоря, для всех значений а и b
У (в, b) = V(b, а). (11.2)
Предположим, что (11.1) имеет дискретный спектр и что фх(лг, у) принадлежит дискретному собственному значению Ех. Примем также, что этому собственному значению не принадлежат другие линейно независимые собственные функции; тогда наиболее общее решение дифференциального уравнения для фх:
Нф. = ?.ф». (11.3)
