Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
Существуют физические величины (в данном случае энергия), с точки зрения которых состояния ср и P^cp эквивалентны. Это означает, что измерение этих величин дает те же самые значения с той же вероятностью как при ср, так и при Р^ср. Операторы, соответствующие физическим величинам этого рода, называются
132
Глава 11
симметричными по отношению к преобразованиям Р#, а группа называется группой симметрии физической величины. Группа перестановок тождественных частиц и вращений системы координат является группой симметрии энергии.
5, В (11.12) или (11.16) мы установили тот факт, что функция Рф должна быть кратна ф, так как она принадлежит собственному значению функции ф. В более общем случае, когда рассматривается собственное значение с I линейно независимыми собственными функциями ф2, ..., ^t, этого вывода уже сделать нельзя. Можно только сказать, что все функции Р#^, Ря^2, •••• РяФ* М0ГУТ быть записаны в виде линейных комбинаций функций ф2, ..., ф, (поскольку каждая собственная функция этого собственного значения обладает этим свойством). Обозначим соответствующие коэффициенты через D (/?)*,, так что ')
*1. V---. *я. У„. *„) =
I
= Уи ........Хп, уп, гп). (11.23)
Хя1
Если 5 -также принадлежит группе уравнения Шредингера, имеем
• i
р
Подвергая переменные в (11.23) преобразованию S, т. е. применяя оператор Ps к обеим частям, получаем (Р$ — линейный оператор и D(R)X„ являются постоянными!)
= 2о(Л)„2о(ЯЛ = 2 2d(s\xd(R)xjv (п.24)
Х=1 \ = 1 1 X“ I
С другой стороны, Ps • P^v = Pwt,> так что
Ps-PA = PsRt = 2D(SR\Jv
Отсюда, приравнивая коэффициенты этого разложения соответствующим коэффициентам в (11.24), находим
i
D{SR)u = ^D{S\xD{R\,. (11.25)
Х = 1
]) Индексы xv написаны в таком порядке, чтобы, согласно (11.25), сами матрицы D (R), а не их транспонированные D (R)T, могли образовывать представление.
Представления и собственные функции
133
Образованные из коэффициентов, входящих в (11,23), /-мерные матрицы D(/?) превращают собственные функции принадлежащие некоторому собственному значению, в преобразованные собственные функции Поскольку они удовлетворяют соотноше-
ниям D (SR) = D (5) D (/?), эти матрицы образуют представление группы, относительно которой |-ty = ?ty инвариантно. Размерность представления равна числу I линейно независимых собственных функций фр ...........принадлежащих рассматриваемому соб-
ственному значению.
Общие соображения та^же мало говорят как о том, коэффициенты какого представления входят в (J1.23), так и о знаках в соотношении (11.12); соотношение (11.23) допускает различные возможности (фактически несколько), так же как и (11,12). Следует снова предполагать, что для различных собственньТх значений могут иметь место различные представления.
Скомбинируем далее (11.23) с уравнением, определяющим PR;
Ул> <......*»¦ У'п- <) =
= У1. *1.....У„‘ гп)- (11.18в)
Если заменить R на R~l, роли штрихованных и нештрихованных переменных поменяются. Поэтому мы получаем формулы преобразования для функций
b(XV y'v *'l......*»• У'п’ 0 = Уу Zl.....*»¦ Уп' *») =
I
= 2о(Л"1Х,фх(дс1, у1( г:..........х„, у„, z„). (11.26)
*=1
t
Они связывают значения собственных функций в физически эквивалентных точках конфигурационного пространства.
Группа, относительно которей (11.1) инвариантно, состоит из тождественного преобразования и преобразования R, соответствующего взаимной замене х и у. Так как собственное значение было простым (по предположению), мы должны получить одномерное представление группы отражений. Поскольку Р? является тождественным оператором, то
Р?Ф = Ф = 1 • ф-
Иначе говоря, тождественный элемент группы соответствует матрице (1). Далее (11.12) утверждает, что
Р ф = ±^> = ± 1-ф. (11.12а)
Некоторым собственным значениям соответствует верхний знак; для них матрица (1) соответствует элементу R, который переставляет две частицы. Другим же собственным значениям отвечает нижний знак; для них элементу группы R соответствует матрица (—1). Таким образом мы получаем два одномерных представления симметрической группы из двух элементов. Одно состоит из соответствия D (?) = (1), D (R) = (1); дот-гое — из D (?) = (1), D (R) = (—1).
134
Глава 11
6. Если выбрать новые линейно независимые функции <]>', ..ф' вместо (])j, где
ф;=2%а. (11.27)
то получим в (11.23) другое представление группы операторов Р. Тогда возникает вопрос о том, как связаны эти два представления.
где Р есть матрица, обратная я. Тогда, в силу линейности операторов Рд, имеем