Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
') Значения Pk(Q) для rft вводятся после дифференцирования. Формула (10.3) является выражением вида v(dldx)f(x, у) при х = уа. Если, например, f(x, у) = х2у\ то df(x, у)/дх => 2у* при х = у.
PiiQ 1 {?1+д1. ь.......pn(Q 1 {?1-ЬА. ................О)
X
Pi (Q {^l» Ч<1...........Q • • • Pn(Q {^1> Яч.......................)
= ^1^2 • • • \ X
dlpi (Q~l{rv .... гп}), р2(0^ {rlt..., г„>),..., pn(Q~1 {rt,
д К гг..........rn]
g (О) = g0
d[pi(Q 1 {gi.gn}),.... p„(Q ' {Q\. .... gn>)] d ..................... qA
, (10.3)
Непрерывные группы
119
Следовательно, второе замечание можно применить к распределению Q~1Rl. Это осуществляется заменой Q на SQ = T и показывает, что плотность точек (SQ)Q~1Rl дается выражением (10.3). В силу ассоциативности группового умножения точки (SQ)Q~1Ri являются точками SRt; таким образом, мы показали, что плотность этих точек дается выражением (10.3) в произвольной точке Т, если плотность точек R, выражается тем же равенством. Фиг. 5 иллюстрирует это доказательство, основанное, как легко заметить, на свойстве ассоциативности умножения.
Фиг. 5. Схема (в тех же обозначениях, что и на фиг. 4) разделения подстановки SR вместо R на два этапа: на подстановку Q_1R вместо R и подстановку SQQ~1R для окончательной точки.
Следует заметить, что если J(R) нигде не отрицательно (т. е. ни для одного R), то выражение (10.2а) может обращаться в нуль только в том случае, если J(R) всюду равно нулю. Это обстоятельство существенно для нового вывода теоремы 1 предыдущей главы.
Рассмотрим теперь явное выражение инвариантного интеграла Гурвица и покажем еще раз путем прямого вычисления, что выбор функции плотности, определенной выражением (10.3), действительно сводит (10.26) к тождеству. Интеграл в правой части (10.26) равен
fj(R)dR = J.../У({г,............/¦„})*({/¦,.....rn})dri...drn, (10.4)
где интегрирование распространяется на всю область изменения параметров. Покажем, что равенство
fj(R)dR^f ... J7({r„ г...............>•„})?({/-!, г2, г„})Х
Xdrt... drn = J J{SR)dR = J ... J J(S [rv r2, .... r„})X .
Xg([rv r2........rn))drl ... drn (10.5)
имеет место для всех элементов S, если только g(R) задается выражением (10.3).
120
Глава 10
Сначала введем новые переменные в интеграле в правой части (10.5), а именно, параметры хх, х2, х3, ..., хп произведения
Х—[хх, х2, ..., хп) = SR = S {лр г2, ..., гп}.
Иначе говоря,
xk = Pk(S{rx, г2, гп)\ (10.6)
'a = .Pa(S~1 {л-i, х2....*„}). (10.6а)
Область интегрирования не меняется, так как SR, так же как и R, пробегает всю группу. Тогда получаем
J J(SR)dR = J ... J J(S {rv r2..........r„})g([rlt r2, ..., rn})X
Xdrx ...drn — f ... fj({xx, x2..........*„})X
X g (R) j-У1’ Гг’ ' Гп\ dxi ... dx ,
a (x„ x2, .xn) 1 "
где R и параметры rt рассматриваются как функции параметров xt, согласно (10.6а). Если теперь взять g(R) из (10.3), то можно скомбинировать последние два множителя подынтегрального выражения, согласно теореме о якобианах неявных функций1):
, d[•••**С*-1 (Г1......М)---] дСу г»)
®° д{...Гц ...] d(jCi, ..., хп)
; <10-7)
при этом якобиан вычисляется при r1 = pl(R), ..., rn = pn(R), где R 1 рассматривается постоянным при дифференцировании по xt, так же как и в (10.3), а параметры гк считаются функциями (10.6а) от xt. Следовательно, если {, г2............... гп} =
= S 1 • {jfj, х2, ..., хп} подставлено в равенство (10.7), то (в силу R~1S~1 = Х~г) получаем соотношение
д Г.., р (Х-1 (х., ..., х })...]
которое вычислено2) при хх=рх(Х)............. хп = рп(Х). Таким
образом, правая часть равенства (10.5) действительно совпадает с левой с точностью до обозначений переменных интегрирования.
') Если (10.7) имеет место для произвольных значений параметров г к, то это равенство справедливо также для значения rk = р (R), требуемого для (10.3).
2) Значения pk (X) переменных хк подставляются здесь после дифференцирования.
Непрерывные группы
121
Формулу (10.3) можно переписать с использованием равенства
Q 1 • {<7,, д2, ..., qn) = {ev е2.еп} =Е, с помощью которого
вводятся новые переменные е вместо переменных д, рассматриваемых на какой-то момент как свободно меняющиеся (тогда как Q является постоянным элементом группы). Теорема о якобианах неявных функций дает
g2...«„})•••] _
а
= .g«})---l а(•••?*•• •)
а[.•.?*•••] д(-.¦%¦¦¦) '
где ^ — функции от ек, т. е. qk = pk(Q{eu е2..еп}). Так как
Pk(iev е2....en)) = ek> левая часть последнего равенства просто
равна 1 и, выражая qk через ек, мы получаем