Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
обращающееся в нуль при стремлении х или у к +оо ичи —оо, является произведением фх на константу.
Рассмотрим функцию Р^х = ^х, определенную таким образом,
что
Рфх(а, 6) = фх(с, Ь) = */ХФ, а) (11.4)
для всех значений а и Ъ. Покажем, что фх(а, Ь) также является
решением дифференциального уравнения (11.3). Временно обозна-
чим производную функции / (х, у) по первой переменной через
Представления и собственные функции
125
У)> а п0 второй переменной — через /(2)(лг, у). Иначе
говоря
= /'¦>to. Л = Я> to. А
-gmjo = У" to. » у) (п.5)
и т. д. Аналогичным образом
=!«><*. х). = *).
Тогда дифференцирование функции (11.4) по а и Ь дает
ф0)(в, й) = фР)(й, a), ^1)(l)(o. i) = ti2)(2)(6, а),
- - (11.6)
'|)Р) (a, b) = '|>W (b, а), (|/2) Р) (а, Ь) = 'j^11 (1) (Ь, а).
Вычислим теперь
Нф.(*. у) = ~ш(ш + 1ф)мх' у)Ф,(*. У) =
=~ш №]) (I) (JC> у)+й2) (2) (JC’ у)]+V (JC> у) Ф*(*' у)¦ (11 -7)
Используя (11.6), (11.4), (11.2) и (11.3), получаем уравнение Щх (х, у)=—^-^Р)(2)(у, x)+^)(i)(y, x)]+V(y, х) фх (у, х) =
= ?.Ф.(у. *) = ?.ф.(*. у)- 01.8)
Таким образом, Рфх(лг, у) = фх(*, у) также является решением дифференциального уравнения (11.3), удовлетворяющим тем же граничным условиям на ± оо. Оно должно быть, следовательно, кратным функции фх(лг, у):
Ф*(х, У) = сфх(*. У)- (П-9)
Чтобы определить постоянную с, заметим, что в силу (11.4),
сфх(в, &) = ф.(«. Ь) = Ь(Ъ, а) (11.10)
для всех значений о и i. Если записать (11.10) сначала для пары значений у, х, а затем для пары х, у
сф*(у. У)=фх(У. *). (П.11)
то получим
с2ф*(*. у) = ф,(*. у);
так как фх(лг, у) не равна тождественно нулю, с2= 1 и с = ± 1. Таким образом, при всех л и у
Ф.(*. У) = Ф.(У. *)=±фх(*. у). (11.12)
126
Глава 11
Собственная функция ^X(x, у) в точке л;, у имеют либо значение, равное значению в точке у, х, либо значение, противоположное по знаку. Из общих соображений нельзя определить, имеет ли место первый случай или второй; однако для всякой функции У)’ удовлетворяющей упомянутым выше условиям (т. е. для всякого определенного собственного значения), может осуществляться лишь одна из двух возможностей. Собственные значения и собственные функциии, для которых в (11.12) следует брать знак „ + “, называются симметричными собственными значениями и собственными функциями; а те, для которых следует брать знак „ — “, называются антисимметричными. Таким образом мы получаем качественную классификацию собственных значений и собственных функций уравнения Шредингера на классы в зависимости оттого, подчиняются ли они соотношению (11.12) со знаком „ -|- “, или „ —
Вполне аналогичные и даже несколько более простые аргументы применимы к уравнению для собственных значений
где
V(x) = V(-x),
если определить
РФ (дг) = ф( — а:).
Тогда вместо (11.12) получим
ф(*)=±ф(—*). (11.16)
Это является просто констатацией того хорошо известного факта, что все собственные функции являются либо четными, либо нечетными функциями от х.
Распространим эти соображения на более общий случай дискретного собственного значения с несколькими (но в конечном числе) линейно независимыми собственными функциями '). При этом вычисления мы будем заменять, где это возможно, качественными рассуждениями; ясно, что конкретный вид оператора Гамильтона (11.1) и (11,13) не является существенным и что в первом случае играет роль тождественность двух частиц, а во втором —
¦) Здесь важен не столько дискретный характер собственных значений, сколько конечное число собственных функций, принадлежащих данному собственному значению. Вся теория может быть распространена почти без всяких изменений на „дискретные комплексные собственные значения", с которыми имеет дело гамовская теория а-распада ядер, хотя они и не являются дискретными в указанном выше смысле, так как интегралы от квадратов соответствующих собственных функций расходятся.
(11.13)
(11.14)
(11.15)
Представления и собственные функции
127
лишь равноправность двух направлений -\-Х и —X. Мы получим соотношения, аналогичные (11.12) и (11.16), которые аналогичным образом выделяют разные типы собственных функций; собственные функции, принадлежащие данному собственному значению, удовлетворяют одному из нескольких наборов соотношений, и, наоборот, собственные значения, собственные функции' которых удовлетворяют тому же набору соотношений, обладают сходными свойствами. Собственные функции различных типов относятся к термам с разными свойствами; эти свойства образуют основу для классификации уровней („зоологии уровней”).
