Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
Матрица D(/?), которая преобразует ф' в Рдф', получается из D(/?) путем преобразования подобия с помощью матрицы «:
Иной выбор линейно независимых собственных функций для данного собственного значения вызывает лишь преобразование подобия соответствующего представления: представление группы уравнения Шредингера, принадлежащее определенному собственному знйчению, определяется однозначно с точностью до преобразования подобия.
Если мы хотим иметь собственные функции, преобразующиеся не с помощью D (/?), а с помощью эквивалентного ему представления, то следует образовать новые линейные комбинации собственных функций, пользуясь матрицей я, преобразующей представление D(/?) к желательному для нас виду D(/?).
Однозначно определенное (с точностью до преобразования подобия) представление является качественной характеристикой, с помощью которой могут отличаться различные типы собственных значений. Представление, принадлежащее синглетному уровню S, отличается от представления, принадлежащего, например, три-пдетному уровню Р или синглетному уровню D, тогда как все представления, принадлежащие триплетным уровням Р, эквивалентны. Эти представления практически всегда будут неприводимыми, что и является одной из причин особой важности неприво* димых представлений.
Пусть
(11.28)
D(/?) = «_1D (/?)«.
(11.30)
Представления и собственные функции
135
7. Если I собственных функций ... ф, взаимно ортогональны (мы всегда будем предполагать, что это так), то соответствующее представление унитарно. Из унитарности оператора Рд следует, что I функций Рдфг .... Р^ф, также ортогональны:
(РА- РА) = (Ф.- t)=K,> (П-81)
или, с использованием (11.23),
8„=(РА’ р*Ф0 = (?°(^А- 2о(Л)л) =
= 22?>(/?t?,(^(t. t)=2?>(/?)L?,Wb. (п-32)
т. е.
1 = D (/?)f D (/?).
Таким образэм, D(/?) является унитарной матрицей1). Следовательно, сразу можно заключить, что соотношения ортогональности гл. 9 имеют место для D (/?), если только это представление неприводимо.
Соотношению (11.26) можно также придать вид
y'v *\....<> у»’ <)=
= %D(R-\Mxv *i...............хп> Уп’ гп) =
X
= 2?,(ЯйА(*1. Ух г1..........*„• Уп• гп)- (11.26а)
х
Отсюда также видно, что мы будем иметь дело только с представлениями с отличными от нуля определителями
’) Поскольку собственные функции всегда можно выбрать так, чтобы они были ортогональными, это дает особенно простое доказательство того, что представления вгегда могут быть сделаны унитарными.
Глава 12
АЛГЕБРА ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
Изложим теперь некоторые алгебраические соображения, связанные с результатами предыдущих глав. Сначала выведем некоторые чисто математические теоремы.
1. Пусть DU)(R)— неприводимое унитарное представление размерности lj группы унитарных операторов Р^, и пусть А\\
fi'1.....Aij представляют собой lj собственных функций, для
которых имеет место уравнение
Ч
РRA^ = ^pu\R\^[]) (ц=1, 2......./,) (12.1)
при всех Р^. Говорят, что функция /1/' принадлежит х-й строке неприводимого представления DU) (R), если существуют такие
функции-„партнеры” f[J\ f{2J)....AJ-i, Ай\......Ачто все
удовлетворяют (12.1). Это утверждение является вполне определенным только в том случае, если представления D^\R) заданы полностью, а не с точностью до преобразования подобия.
Умножая (12.1) на ) (/?)*,х, и суммируя (или интегрируя — в случае непрерывной группы) по всей группе, на основе свойства ортогональности элементов представления находим, что
2 du'\r)1-x. р^/?У)=22 dU)w\x Aji=
= X T bJJ- riJ) =-r hj’^'Av- (12.2) x 1 '
Отсюда, в частности, имеем
2iDu\R)lPRAi) = T AJ] (12.3)
Алгебра теории представлении
137
для каждой функции f{}\ принадлежащей х-й строке неприводимого представления (R). Наоборот, для любой функции f[J\ удовлетворяющей (12.3), может быть найден набор таких функций-
партнеров f[J), f2J).....f[Jlu f[Jh.......fty, что (12.1) имеет
место для всего набора. Соотношение (12.3) является необходимым и достаточным условием того, что принадлежит х-й строке неприводимого представления D(;)(A?).
Из (12.2) следует, что если у f{}) имеются функции-партнеры, то они должны задаваться выражением
AJ) = 1{ 2 DU) (S%Р5/1Л. (12.3а)
s
Мы рассматриваем это равенство в качестве определения fx \ ..., fx-\> fx+ъ • • •. fij- Кроме того, по предположению, (12.3а) справедливо и для частного случая X = х, так что оно применимо ко всем Непосредственная подстановка правой части (12.3а) вместо и в (12.1) показывает, что (12.1) справедливо, если только
Р* т 2 °и) <4* = 2 D<i) т 5 Dii) (st. Р sAJ).
