Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Вигнер Е. -> "Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров" -> 49

Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.

Вигнер Е. Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров — Москва, 1961. — 444 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyagruppieeprilogeniekdrugim1961.pdf
Предыдущая << 1 .. 43 44 45 46 47 48 < 49 > 50 51 52 53 54 55 .. 176 >> Следующая


Соображения, которые привели к (11.12), опираются на то обстоятельство, что (11.1) инвариантно относительно преобразования

Отсюда следует, что функция ') Рфх, определяемая соотношением

которое тождественно выполняется для всех а и Ь, является решением уравнения Нф = Еф, если только ф, является его решением.

Для обобщения этого результата положим, что R — вещественное ортогональное преобразование

и определим Р / как функцию, для которой соотношение

тождественно выполняется либо по переменным jtj, х2...............хп

[в этом случае x'v х'2, ..., х'п следует рассматривать как представленные выражениями (11.18а)], либо по x'v х2..........х'п', в по-

следнем случае вместо xt подставляется

г) РФ означает функцию так же, как обычные обозначения функций / нлн g; Рф (х, у) является значением этой функции в точке х, у. Так,

например, (11.19) означает, что Рк/ в точке х2.............хп имеет то же

значение, что и функция / в точке xlt хя, ..., хп.

х’=у, у' = х.

(11.17)

Рфх(а, Ь) — ^хф, а),

+/?12л:2-|- ... -\-Rlnx„>

Х2~ ^22Х2~*Г ••• ~\~^2пХп'

(11.18а)

П

(11.186)
128

Глава II

Таким образом, Pr есть оператор, заменяющий х'. на хг Однако, так как в подобном словесном определении различие между операцией Pr и обратной к ней не вполне ясно, то по существу во всех расчетах будут использоваться формальные определения, выраженные соотношениями (11.19) и (11,18а) или (11,186).

Если теперь две точки xv х2.......хп и x'v х'2.......х'п кон-

фигурационного пространства, которые преобразуются друг в друга с помощью заданного преобразования R, являются физически эквивалентными (т. е, они отличаются лишь перестановкой положений двух тождественных частиц), то и две функции ф и Ркф также эквивалентны (в Ркф вторая частица просто играет ту же роль, которую первая играла в iji, и наоборот). Если ф — волновая функция стационарного состояния, то этим свойством обладает и Рдф, и обе они относятся к одной и той же энергии. Из уравнения |-ty = ?ty следует, что НРкф=?Ркф и Н инвариантно относительно операции PR,

Преобразования R, которые преобразуют эквивалентные точки друг в друга, образуют группу — „группу уравнения Шредингера“, так как произведения таких преобразований и их обратные также преобразуют одни эквивалентные точки в другие (т. е. принадлежат этой группе). Тождественным элементом группы является тождественное преобразование, переводящее каждую точку в саму себя. Сама эта группа называется группой симметрии конфигурационного пространства.

Аналогичные соображения применимы к оператору PR. Легко видеть, что Ps • PR = PSR. Преобразование R переводит х в х', так что PR/(*') = / (jt.j, a S переводит х' в х", так что Ps?" (л'г) — S (х\)> и> следовательно, для g (х) = PR/ (х)

р»рв/(О “Рв/(*0=/(*!)•

Но SR преобразует х непосредственно в х", так что

что дает соотношение, определяющее PSR/- Так как / является произвольной функцией, то отсюда следуем что

Группа PR изоморфна группе R,

Определение (11.19) функции Рк/ может быть также записано в виде _ _

PSR/«) = /(*<)•

(11.22)

Pr/C*i----*„)=/(*!.....*„)•

xi = (R~%- Xj.

(11.19a)

где
Представления и собственные функции 129

Следовательно, при вычислении PsPr/ имеется искушение действовать следующим образом:

pspr/(*i......*„)= ps/(-i.......*„)• W

Ps/(^, •••• -*j=/(*i.......*n>

где = _ _

¦*7 = 2(S xi'

i

и поэтому

xi = 2 (R-1)y xj = 2 (s_1R-1)y ¦*/ = 2 ((Rs)-1b xj- (**)

ij J i

Тогда можно найти, что

PSPR/(X!......*„)=/(*!• *„>

Так как, в силу (11.19а), это равенство служит определением PrS/, можно заключить, что PsPr/ = Prs/-

Тогда возникает вопрос о том, какое из этих двух вычислений правильно: то, которое приводит к (11.20), или последнее. Как читатель уже подозревает, правильным является расчет, приводящий к (11.20). Ошибка последнего вычисления содержится в соотношении (*). Представляется, что это равенство следует из (11.19а) [или (11,19)], если применить к обеим частям Ps, Однако операторы можно применять только к функциям, а две части равенства (11,19а) представляют значения функций (числа) для определенных значений аргумента. Функцию PR/ можно

обозначить через /; тогда Ps (Pr/) = Ps/. Получив это равенство, можно подставить любые значения аргументов, н получающиеся при этом соотношения будут правильными. Такое рассуждение приведет к (11.20), С другой стороны, нельзя применять Ps к числам.
Предыдущая << 1 .. 43 44 45 46 47 48 < 49 > 50 51 52 53 54 55 .. 176 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed