Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
Соображения, которые привели к (11.12), опираются на то обстоятельство, что (11.1) инвариантно относительно преобразования
Отсюда следует, что функция ') Рфх, определяемая соотношением
которое тождественно выполняется для всех а и Ь, является решением уравнения Нф = Еф, если только ф, является его решением.
Для обобщения этого результата положим, что R — вещественное ортогональное преобразование
и определим Р / как функцию, для которой соотношение
тождественно выполняется либо по переменным jtj, х2...............хп
[в этом случае x'v х'2, ..., х'п следует рассматривать как представленные выражениями (11.18а)], либо по x'v х2..........х'п', в по-
следнем случае вместо xt подставляется
г) РФ означает функцию так же, как обычные обозначения функций / нлн g; Рф (х, у) является значением этой функции в точке х, у. Так,
например, (11.19) означает, что Рк/ в точке х2.............хп имеет то же
значение, что и функция / в точке xlt хя, ..., хп.
х’=у, у' = х.
(11.17)
Рфх(а, Ь) — ^хф, а),
+/?12л:2-|- ... -\-Rlnx„>
Х2~ ^22Х2~*Г ••• ~\~^2пХп'
(11.18а)
П
(11.186)
128
Глава II
Таким образом, Pr есть оператор, заменяющий х'. на хг Однако, так как в подобном словесном определении различие между операцией Pr и обратной к ней не вполне ясно, то по существу во всех расчетах будут использоваться формальные определения, выраженные соотношениями (11.19) и (11,18а) или (11,186).
Если теперь две точки xv х2.......хп и x'v х'2.......х'п кон-
фигурационного пространства, которые преобразуются друг в друга с помощью заданного преобразования R, являются физически эквивалентными (т. е, они отличаются лишь перестановкой положений двух тождественных частиц), то и две функции ф и Ркф также эквивалентны (в Ркф вторая частица просто играет ту же роль, которую первая играла в iji, и наоборот). Если ф — волновая функция стационарного состояния, то этим свойством обладает и Рдф, и обе они относятся к одной и той же энергии. Из уравнения |-ty = ?ty следует, что НРкф=?Ркф и Н инвариантно относительно операции PR,
Преобразования R, которые преобразуют эквивалентные точки друг в друга, образуют группу — „группу уравнения Шредингера“, так как произведения таких преобразований и их обратные также преобразуют одни эквивалентные точки в другие (т. е. принадлежат этой группе). Тождественным элементом группы является тождественное преобразование, переводящее каждую точку в саму себя. Сама эта группа называется группой симметрии конфигурационного пространства.
Аналогичные соображения применимы к оператору PR. Легко видеть, что Ps • PR = PSR. Преобразование R переводит х в х', так что PR/(*') = / (jt.j, a S переводит х' в х", так что Ps?" (л'г) — S (х\)> и> следовательно, для g (х) = PR/ (х)
р»рв/(О “Рв/(*0=/(*!)•
Но SR преобразует х непосредственно в х", так что
что дает соотношение, определяющее PSR/- Так как / является произвольной функцией, то отсюда следуем что
Группа PR изоморфна группе R,
Определение (11.19) функции Рк/ может быть также записано в виде _ _
PSR/«) = /(*<)•
(11.22)
Pr/C*i----*„)=/(*!.....*„)•
xi = (R~%- Xj.
(11.19a)
где
Представления и собственные функции 129
Следовательно, при вычислении PsPr/ имеется искушение действовать следующим образом:
pspr/(*i......*„)= ps/(-i.......*„)• W
Ps/(^, •••• -*j=/(*i.......*n>
где = _ _
¦*7 = 2(S xi'
i
и поэтому
xi = 2 (R-1)y xj = 2 (s_1R-1)y ¦*/ = 2 ((Rs)-1b xj- (**)
ij J i
Тогда можно найти, что
PSPR/(X!......*„)=/(*!• *„>
Так как, в силу (11.19а), это равенство служит определением PrS/, можно заключить, что PsPr/ = Prs/-
Тогда возникает вопрос о том, какое из этих двух вычислений правильно: то, которое приводит к (11.20), или последнее. Как читатель уже подозревает, правильным является расчет, приводящий к (11.20). Ошибка последнего вычисления содержится в соотношении (*). Представляется, что это равенство следует из (11.19а) [или (11,19)], если применить к обеим частям Ps, Однако операторы можно применять только к функциям, а две части равенства (11,19а) представляют значения функций (числа) для определенных значений аргумента. Функцию PR/ можно
обозначить через /; тогда Ps (Pr/) = Ps/. Получив это равенство, можно подставить любые значения аргументов, н получающиеся при этом соотношения будут правильными. Такое рассуждение приведет к (11.20), С другой стороны, нельзя применять Ps к числам.