Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
Предположим, например, что равенство /(х) = g {х') выполняется для всех значений х, если х' = х + 1, и что Ps является операцией замены переменной на ее обратную величину. Тогда можно заключить, что
ps/W = ps?(-*,)>
ИЛИ
при х' = х + 1, Ясно, что такое равенство неправильно.
Мысль о возможности перехода от (-*) к (**) не возникает, если помнить, 4to.PsPr/=Ps(Pr/) является функцией. Если бы такая запись не была слишком непривычной, целесообразнее было бы писать выражение (PSPR/) (ATj.....для значения этой функции в точке х^ ,,,, хп, по-
казывая, что PSPR/ является символом функции, каким являются часто F, g и т. д.
Следует заметить также, что определение, следующее из (11.19), (11.18а), является естественным, Конфигурация с координатами xt в штрихованной системе и конфигурация с координатами xi в нештрихованной системе физически тождественны, В этом заключается смысл (11.18а).
130
Глава It
Тогда смысл (11.19) состоит в том, что волновая функция PR/ штрихованной системы и волновая функция / в нештрихованной системе имеют одни и те же значения для одной и той же конфигурации.
3. Операторы Р линейны. Подстановка х вместо х' в сумме равносильна выполнению той же операции в каждом из отдельных слагаемых; далее, умножение функции, в которой сделана такая подстановка, на постоянный множитель дает тот же результат, что и умножение и последующая подстановка. Иначе говоря,
P(af + bg) = aPf + bPg. (11.21)
Так как оператор Р представляет собой просто преобразование
к новой ортогональной системе координат в конфигурационном
пространстве, Р должен быть унитарным, т. е. для двух произвольных функций fug скалярное произведение не меняется:
(/. g) = (Pf. Pg)-
Резюмируя, можно сказать, что при сделанных нами весьма общих предположениях Р является унитарным линейным оператором.
В рассматриваемом частном случае Р обладает также свойством
Pfg=Pf-Pg. (П-22)
которое следует непосредственно из его определения. Это свойство оператора Р не является таким общим, как его линейность и унитарность,
4. В большинстве случаев группа уравнения Шредингера может быть определена из общих физических соображений.
Рассмотрим систему из п электронов, причем координаты й-го электрона обозначим через xk, ук, zk '). Тогда уравнение Шредингера инвариантно относительно двух типов преобразований. Лервое из них описывает перестановку электронов и имеет вид
Ж1=Ж^ *1=*.,.
*2=-V У2=Уа,- *2=*аа. (П>ЕЛ)
*«=v
где alt a2, ..., an— произвольная перестановка чисел 1,2, 3..п.
Инвариантность относительно таких преобразований следует из физической эквивалентности всех электронов. Разумеется, то же самое
¦) Таким образом, мы имеем Зл переменных хи ylt ги х& у2, zit... •••> хп< Уп< *п вместо л переменных хи х2,..., х„.
Представления и собственные функции
131
относится к протонам, а-частицам и т, д. Второй тип преобразований описывает вращение системы координат и имеет вид
¦*i = Pn*i +Р12У1 +р1зг1' ~ Р21 “Ь Р22У1 “I- Ргз^г
Х2 = Рп^2 “Ь Pl2^2 $\3Z2' ^2 = $2\Х2 ?22^2 “Ь ?23Z2‘
К = Рц*я + ЪпУп + РгЛ> у'п = $2\ХП + Р22 Уп + P23 z„’
Z\ = Рз1Л'1 “Ь Рз2^1 “Ь Рзз21> г2 = РзЛ “I- Р32 ^ 1 “ЬРзз^г’
Zn = РзЛ "1“ Рз2^л "Ь Рзз^л’
где —вещественная ортогональная матрица; равенства (11.Е.2) означают лишь переход к системе координат с иной ориентацией. Физическая эквивалентность всех направлений в пространстве (по крайней мере в отсутствие внешних полей) приводит тогда к инвариантности относительно таких преобразований.
Ясно, что уравнение Шредингера инвариантно *акже относительно преобразований, объединяющих (11.Е.1) и (1 I.E.2). Преобразования (11.Е.1) образуют группу, изоморфную группе перестановок п объектов (симметрической группе); преобразования (11.Е.2) — группу, изоморфную трехмерной группе вращений.
Обозначим элемены группы уравнения Шредингера через R,
S, ... Существуют операторы Рд, Р^............соответствующие этим
элементам группы. Аналитическое выражение PR дается равенством (11.19), в котором R является преобразованием, соответствующим элементу группы R. Однако в дальнейшем мы будем пользоваться в качестве индекса оператора Р элементом группы, а не соответствующей матрицей. Мы это делаем, во-первых, потому, что при этом обозначения становятся менее громоздкими, а, во-вторых, потому, что элемент симметрии имеет более фундаментальное значение, чем соответствующая ему матрица. Физический смысл оператора PR заключается в том, что он образует, исходя из волновой функции ср некоторого состояния, волновую функцию РдСр состояния, в котором частицы обменялись ролями или новые направления х', у', z' играют роль старых направлений х, у, z.
