Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
Соотношение (9.33) можно записать в несколько более развернутом виде, если сравнить характеры Х(Л(^) и X^HS), принадлежащие двум элементам R и 5 одного и того же класса. Тогда существует такой элемент группы Т, который преобразует R в S. Но если T~lRT—S, то DU){T~l) D(y>(/?)0(Л (T) = DiJ) (S), так что D (Л(Д) может быть преобразовано в (5). Следовательно, след xU) (R) матрицы D(^(/?) равен следу x'^OS) матрицы D(7)(S). В заданном представлении элементы одного и того же класса имеют равные характеры.
Таким образом, при задании совокупности характеров достаточно указать характер одного элемента из каждого класса группы. Это число может рассматриваться как характер класса. Если вся группа, представление которой рассматривается, состоит из k классов, скажем Сх, С2, ..., Ск и если эти классы имеют gv g2, .... gk элементов соответственно (g’j —(— —j— ... -\-gk = h), то
характер представления полностью определяется k числами X^H^i). Х^ЧСъ), x}})(Ck). Можно ввести эти числа в (9.33) вместо Х^НЮ- Когда это сделано, мы можем выполнить суммирование по элементам группы, суммируя сначала по gp элементам одного и того же класса (соответствующие g? членов все равны), а затем— по всем k классам:
'kx(4Cf)tn(Cfr gf = hb)r
pel
или
2 Х(Л(Ср) j/т ¦ X'n(CfT ]/T = bJJ’- (9-34)
P-l
Нормированные характеры х(^ (Ср) Vg?lh образуют ортого-
нальную систему векторов в k-мерном пространстве классов.
Соотношения (9.30), (9.31), (9.33) и (9.34) являются наиболее важными равенствами теории представлений, и к ним мы будем обращаться неоднократно
Характеры представлений (7 Е.1), (9.Е.1) и (9.Е.З) равны х(?) = 2, х(Л) = 0, = 0, Х<с>=0, хР) = -1. 1(Л = -1,
Х(?) = 1, Х(Л)=-1, ГВ)--1, х(С) —1> Хф)=1. Х<^ = 1,
Fni, х(Л)-1, = х(С)-1. *(0)=1, 1.
104
Глава 9
Так как D, t и А, В, С относятся к одинаковым классам, их характеры совпадают. Поэтому характеры можно записать кратко следующим образом:
х№) = 2, х<Л’ в- с' = 0, x(D,/') = _ii
х<?> = 1, х(Л> в’ С) = —1. x(D,/?) = i.
Х(Я) = 1, х<л'в>с)=1, ^<°'/?)=1.
Нормированные характеры У g^jh • ^ (С ) взаимно ортогональны. Например, для у и ^
/" ?2'/ ?1 + / 40'/ + J1"0'
Так как существует самое большее k ортогональных &-мер-нь х векторов, то число с неэквивалентных неприводимых представлений равно самое большее числу k классов представляемой группы. Действительно, можно показать, что число неэквивалентных неприводимых представлений группы в точности равно числу классов этой группы; иначе говоря, c — k.
Мы уже приводили пример этого в трех представлениях симметрической группы трех объектов, данных на стр. 100—101. Эта группа состоит из трех классов Е\ А, В, С и D, F и не может Иметь иных неприводимых представлений, кроме упомянутых выше. Размерности этих представлений равны 2, 1, 1; при этом 92 -|— I2 —)— -)-12 = 6 действительно равно порядку группы.
Приведение представления. В предыдущем изложении мы имели дело частично с приводимыми, частично —с неприводимыми представлениями. Теоремы 1 и 1а относятся к произвольным представлениям; теоремы 2—4 [и соотношения (9.30), (9.31), (9.33) и (9.34)] — к неприводимым представлениям.
Важность неприводимых представлений объясняется тем обстоятельством, что всякое представление может быть разложено на неприводимые единственным образом. Это значит, что всякое приводимое представление может быть приведено к виду
D (1)(Д) 0 ... 0
0 D(2) (R) ... 0
0
о
D(i) (R)
(9.Е.4)
путем преобразования подобия с соответствующим образом выбранной „приводящей” матрицей, где D<7,(/?) являются теперь неприводимыми представлениями, неприводимыми компонентами исходного представления. Таким образом, если представление не
Общая теория представлений
105
является уже неприводимым, оно может быть преобразовано к виду
это значит, что все его матрицы могут быть преобразованы к этому виду. Тогда либо обе части D'(^x) и D"(A) неприводимы, либо, скажем, D" приводимо. В последнем случае D(A) можно подвергнуть дальнейшему преобразованию с помощью матрицы
Это выражение может быть подвергнуто дальнейшему приведению, если хотя бы одно из трех представлений D', Dw, D"" по-прежнему приводимо.
Так как это представление имеет конечную размерность, должно быть возможным привести в конце концов его этим способом к виду (9.Е.4), в котором все представления D(1), D(2\ .... D(,s) неприводимы. Поскольку несколько последовательных преобразований подобия могут всегда быть заменены одним, рассматриваемое представление можно привести непосредственно К' виду (9.Е.4) с помощью одного-единственного преобразования подобия. Этот процесс называется приведением, а (9.Е.4) называют приведенной формой.
