Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
Можно предполагать, что по окончании процесса приведения
неприводимые части D(1) (/?), D<2)(/?).....D(,s)(/?) не определяются
однозначно (с точностью до преобразования подобия), а что D(/?) может быть приведено различными способами. Мы можем показать, что это не так. Точно так же, как целое число может быть единственным способом разложено на произведение простых чисел, неприводимые компоненты приводимого представления определяются однозначно, разумеется, с точностью до порядка.
(9.Е.2)
которое дает
Если Ъ' приводимо, то Т можно выбрать так, чтобы Т *D (А) Т имело вид (9.Е.2). Тогда D(A) приобретает вид
106
Глава 9
Если в результате приведения произвольное приводимое представление разлагается на aY неприводимых представлений 0(1)(Я) [с характером Х(1)(Я)], представлений D(2) (/?) [с характером Х(2)(Я)] и т- Д.. т0 ясно, что
X (Я) = 2 аД(У) (*) (Я = ?- Л2- Л..........А*) (9.35)
У = 1
дает характер рассматриваемого приводимого представления. Но А соотношений (9.35) полностью определяют числа ар а2, ас. Если вычислить скалярное произведение (9,35) на х^'ЧЯ) (т. е. умножить его на (/?)* и просуммировать по всем элементам группы), то, используя (9.33), получаем
2 X (Я) х(у,) (ЯГ = 22 «Д(У)(Я) Xй’> (Я)* = hay. (9.36)
« RJ
так что целое число ау дается однозначно выражением
«r = s-2x(*)x(''W- (9.37)
R
Согласно (9.37), характер представления определяет, сколько раз неприводимое представление появляется в приведенной форме представления. Так, в частности, неприводимые компоненты не зависят от способа, использованного при приведении.
Кроме того, мы видим, что два представления эквивалентны, если они имеют один и тот же характер. Это значит, что они оба будут иметь одну и ту же форму после приведения и, тем самым, будут совпадать, с точностью до порядка, в котором будут появляться матрицы D(^(/?). Следовательно, два представления с равными характерами могут быть преобразованы к эквивалентным приведенным формам, а поэтому они сами эквивалентны.
С другой стороны, равенство характеров необходимо для эквивалентности двух представлений. Таким образом, оно является необходимым и достаточным условием их эквивалентности (т. е, они могут быть преобразованы одно в другое с помощью преобразования подобия).
Две отдельно взятые матрицы могут быть преобразованы одна в другую только в том случае, если равны их собственные значения. Равенство следов, т. е. равенство сумм их собственных значений недостаточно. Для двух представлений, однако, из предшествующего рассмотрения следует, что если сумма собственных значений одинакова для всех Л пар соответствующих матриц, соответствующие собственные значения будут также попарно равны. Достаточно даже несколько меньшего. Так как характеры всех элементов группы одного » того же класса равны во всяком
Общая Теория представлений
107
представлении, равенство k пар чисел х (Ci) = х' (^i)> ? (С2) = х' (С2), ..,
,,х (С*) = у' (С*) достаточно для эквивалентности двух представлений с характерами х и Х^
Выведем еще одну формулу, относящуюся к числам неприводимых компонент, содержащихся в представлении. Если умножить (9.35) ска-лярно само на себя, то получим
21 х (Я) I2 = 2 2 ajiU) (*) 2 аух(Л <*)* =
R R 1 Г
= 22*Vvv = *24 (Э.38)
Квадрат абсолютной величины характера представления равен порядку группы Л, умноженному на сумму квадратов чисел а у показывающих, сколько раз отдельные неприводимые представления встречаются вэтом представлении. Для некоторого неприводимого представления сумма
2 [ X (/?) I2 = Л (9.38а)
R
имеет наименьшее значение Л; наоборот, если соотношение (9.38а) справедливо, то представление со следами х(-Я) неприводимо, поскольку, согласно (9.38), оно содержит после приведения лишь одну компоненту.
В некоторых случаях вышеприведенные общие теоремы достаточны для нахождения неприводимых представлений. Особенно полезны для этой цели теоремы, частично доказанные на стр. 102 и 103 и дающие число неэквивалентных представлений (равное числу классов) и сумму квадратов их размерностей (равную порядку группы). Разумеется, в большинстве случаев необходимо еще и более подробное, специальное исследование.
В качестве частного случая заметим, что каждый элемент абелевой группы образует класс сам по себе, так что группа имеет столько классов, сколько в ней элементов. Так как сумма квадратов размерностей всех представлений группы равна ее порядку, размерность каждого неприводимого представления равна единице.
Кроме того, следует заметить, что каждое представление факторгруппы также является представлением полной группы, как было подчеркнуто в начале данной главы. Например, рассмотрим еще раз симметрическую группу трех объектов. Эта группа имеет одну инвариантную подгруппу Е, D, F; ее фактор-группа имеет порядок 2. Поэтому факторгруппа является абелевой и имеет два представления единичной размерности. Так как полная группа имеет только три класса, то она может иметь лишь еще одно неприводимое представление, которое должно быть двумерным, чтобы имело место равенство Р + I1 + 22 = 6 = к.
