Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
Покажем теперь, что представление
Ах = d"'/jAxd1/j = d“'/2U_1AxUdVj является унитарным. Из (9.5) получаем
1 = d_Vj2 AxAtd-'\
X
Общая теория представлений
93
Используя это выражение для единичной матрицы, можно написать АДГ - d~4xd'h • (d~'h 2 AxAtd-Vs) d'l’Ald-'1* =
= d~'/s 2 AxAxAtAtd"1/‘. (9.6)
X
В силу групповых свойств матрицы Ах произведения А*АХ для х=1, 2........h являются как раз матрицами Ах в другом по-
рядке !), так что
2 А*АХ (А^АХ)+ = 2 АХА^
X X
и, следовательно,
AxA? = d-Vl2AxAtd"Vj=l. (9.7)
X
Этим доказывается, что представление Ах унитарно, и, следовательно, теорема 1 доказана.
Теорема 2. Матрица, коммутирующая со всеми матри~ цами неприводимого представления, является постоянной матрицей (т. е. кратной единичной матрице).
Можно предположить, что представление имеет унитарную форму, так как преобразование подобия не меняет, разумеется, матриц, кратных единичной матрице. Пусть теперь матрица М коммутирует со всеми Alt А2.......Aft. Иначе говоря,
АХМ = МАХ (*=1.2..............Л). (9.8)
В таком случае достаточно рассмотреть только эрмитовы матрицы М, как мы сейчас покажем. Беря эрмитово-сопряженное соотношение (9.8), получаем
м+а:=а+м+.
Умножая справа и слева на Ах и замечая, что АХАХ = АХАХ=1, находим
АХМ+ = М+Ах (*=1,2,'..., К). . (9.9)
Тогда не только М, но и М+ коммутирует со всеми А. Поэтому М-j-М+ = Hj и /(м — М+) = Н2, будучи эрмитовыми, коммутируют со всеми А. В силу этого достаточно показать, что всякая эрми~ гова матрица, коммутирующая со всеми А, является постоянной матрицей, поскольку, если Hj и Н2 должны быть кратными единичной матрице, тем же свойством должна обладать и 2М =г = Н, — Ш2.
1) См. теорему 1, стр. 75.
94
Глава 9
Если матрица М в соотношении (9.8) эрмитова, она может быть приведена к диагональному виду d с помощью матрицы V, так что d = V-1MV. Запишем AX = V-1AXV (матрицы Ах сохраняют унитарность матриц Ах); тогда из (9.8) следует
Axd = dAx (*=1,2..............А). (9.10)
Если не все элементы диагональной матрицы d равны, то все Ах должны иметь нули на пересечении строк и столбцов, диагональные элементы которых различны. Это значит, что из
(^¦x)kjdjj dkk (^х)ау
следует, что матричные элементы представления (Ax)ft;' равны нулю для тогда представление было бы приводимым, как это
следует из обсуждения на стр. 91. Так как это не имеет места, то все dkk равны. Это значит, что d и, следовательно, VdV_1=M являются постоянными матрицами, коммутирующими со всякой матрицей. Этим доказывается теорема 2, известная как лемма Шура.
Вывод теоремы 2 показывает не только то, что представление должно быть приводимым, если непостоянная матрица коммутирует со всеми матрицами представления, но также и то, как это представление может быть приведено или преобразовано к виду (9.Е.2). Это достигается тем же самым преобразованием подобия, которое приводит „коммутирующую матрицу" к диагональному виду.
Обратно, если представление приводимо, наверняка существуют непостоянные матрицы, коммутирующие со всеми матрицами этого представления. В этом случае такое представление может быть приведено к виду (9.Е.2) с помощью преобразования подобия с соответствующим образом выбранной матрицей S. Но все матрицы М вида
с произвольными а и а' коммутируют с матрицами вида (9.Е.2). Если М преобразуется с помощью S-1, она коммутирует с матрицами того представления, которое получено преобразованием представления вида (9.Е.2) с помощью матрицы S-1.
Если существует непостоянная матрица, коммутирующая со всеми матрицами представления, то представление приводимо', если таких матриц не существует, оно неприводимо.
Теорема 3. Рассмотрим два неприводимых представления
одной и той же группы D(1)(^i), D(1)(/l2)......D(1)(^*) и
D^O^), D(2)(/l2).....D(2) (Лд) с размерностями 1Х и lv Если
Общая теория представлений
95
существует такая матрица М с 12 строками и I, столбцами, что
MD(1) (Л) = D(2) (Л) М (*=1,2............К), (9.11)
то при 1Х ф12 матрица М является нулевой матрицей; при 1Х = 12 матрица М является либо нулевой матрицей, либо матрицей с не обращающимся в нуль определителем. В последнем случае М имеет обратную, и два рассматриваемых неприводимых представления эквивалентны.
С самого начала можно предположить, что представления уже приведены к унитарному виду. Если бы это было не так, можно было бы сделать их унитарными путем преобразования их с помощью матриц S и R. Тогда (9.11) примет вид
R_1MS • S-1D(1) (A) S = R_1D(2) (Л) R • R-1MS,
