Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
умножаются справа на элементы Легко видеть, что ассоциативный закон для такого вида умножения имеет место.
Если и Q) содержат по л и л' элементов соответственно, то содержит самое большое пп' элементов. Однако обычно оно содержит меньшее число различных элементов, так как некоторые элементы могут встретиться более чем один раз среди пп' произведений.
Условием того, чтобы ^ было подгруппой, будет Ч? • =
= (?'1 = %. Эта подгруппа является инвариантной подгруппой, если для каждого элемента U имеет место равенство .
Правые смежные классы по ^ являются все различными комплексами Й"U. Если ^ — инвариантная подгруппа, то = &’,
86
Глава 8
так что ‘&U—U&-, правые смежные классы являются одновременно и левыми. Элементами фактор-группЫ будут различные комплексы U. Произведение двух комплексов и %V,
взятое в смысле перемножения в фактор-группе, совпадает с произведением, взятым в смысле умножения комплексов:
%U -Ф/ = Ъ • UV ¦ V = % -VU ¦ V = %’2UV = %’UV.
Изоморфизм и гомоморфизм
В предыдущей главе мы познакомились с понятием изоморфизма двух групп. Две группы изоморфны, если между их элементами имеется взаимнооднозначное соответствие, притом такое, что произведения соответствуют произведениям. Элементам А или В одной группы соответствуют элементы А или В изоморфной группы, и произведению АВ соответствует произведение А В — АВ. Ясно, что изоморфные группы должны быть одного и того же порядка.
Менее точное соответствие между двумя группами будет при простом гомоморфизме, который напоминает изоморфизм за тем исключением, что от соответствия не требуется, чтобы оно было взаимнооднозначным. Группа $ гомоморфна на другую группу <%/6, если один и только один элемент группы Ш соответствует каждому элементу группы & и если по крайней мере один элемент группы & соответствует каждому элементу группы Ш, а также если соответствие таково, что произведение А и В из группы $ соответствует произведению А ¦ В — АВ соответствующих элементов А и В группы &€ ')• При гомоморфизме один элемент А группы Ш может соответствовать нескольким различным элементам, скажем, А и А' группы В соответствии с этим гомоморфизм не является взаимным свойством. Если & гомоморфна , то Ш не обязательно гомоморфна на <??. Число элементов группы $ должно быть равно или больше, чем число элементов группы если число элементов равно, то гомоморфизм становится изоморфизмом, который уже является взаимным.
Тождественный элемент Е группы $ соответствует тождественному элементу Е группы , так как из Е--Е = Е следует
') Соответствие, которое называется здесь гомоморфизмом группы & на группу да, у большинства немецких авторов обозначается как гомоморфизм группы да группе S’. Заметим также, что выражения „голоморфизм" и „изоморфизм" используются как синонимы в некоторых текстах. (В русской литературе говорят также о гомоморфном отображении группы S’ на группу да. Мы оставляем более краткую терминологию автора. —Прим. ред.)
Инвариантные подгруппы
87
ЕЕ = Е, причем это имеет место только для тождественного элемента группы. Аналогично, обратные элементы группы & соответствуют обратным элементам группы <3/6.
Рассмотрим все элементы Е, Е2........Еп группы <??, соответ-
ствующие тождественному элементу Е группы <3/6, и обозначим этот комплекс через . Так как Ek • Et соответствует произведению Е • Е = Е, комплекс ^ также содержит Ek • Et, так что ^ является группой. Кроме того, всякий элемент U lEk(J, сопряженный с Ek, соответствует элементу Е, поскольку U~l • Е ¦ U — = U~lEU = E\ поэтому группа ^ является инвариантной подгруппой группы <??. Аналогичным образом, элементы комплекса <Л, которым соответствует один и тот же элемент А группы 3/6, образуют смежный класс по подгруппе . Пусть Aj и At — два
элемента комплекса Ж\ тогда Aj = At = А. Всякому элементу AjAf1 соответствует элемент AjAf1 = AjA~l *= AA~l = Е; иначе говоря, AjAf1 содержится в Ч?% что является условием того, что Aj и At принадлежат одному и тому же смежному классу по подгруппе .
Смежные классы по подгруппе ^ находятся во взаимнооднозначном соответствии с элементами группы 3/6 \ поэтому произведение двух смежных классов и соответствует прозведе-нию U V = UV соответствующих двух элементов U и V. Так как смежные классы являются элементами фактор-группы подгруппы , эта фактор-группа изоморфна группе <3/6.
Если & гомоморфна на <3/6, то фактор-группа группы & изоморфна группе <%/6. Порядок группы $ является целым кратным порядка группы <3/6. Если гомоморфизм является в действительности изоморфизмом, то рассматриваемая инвариантная подгруппа ^ вырождается "Ъ единственный тождественный элемент Е.
С помощью надлежащей перенумерации элементов групп можно построить следующее соответствие между элементами групп <?? и <3/6 %
Е, 02, . , ., 0„, Оп+], Оп+2, •••¦ G2n, • • • tp(h-l) я + Р • • • • 9hn Е Н2 Hh
