Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Вигнер Е. -> "Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров" -> 29

Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.

Вигнер Е. Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров — Москва, 1961. — 444 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyagruppieeprilogeniekdrugim1961.pdf
Предыдущая << 1 .. 23 24 25 26 27 28 < 29 > 30 31 32 33 34 35 .. 176 >> Следующая


Е, А, А». А3......А””1.

Группы такого вида называются также циклическими группами, даже если р не является простым числом. Если ш является я-м простым корнем из единицы, (т. е. ып есть наинизшая степень ш, которая равна 1, как, например, для ш = cos 2я/я-|-/sin 2тг/я), то числа

1, (о, со2...(o'1-1 (7.Е.4)

образуют циклическую группу порядка я, если под групповым умножением понимать обычное числовое умножение. Все циклические группы абелевы. „Та же" группа, что и (7.Е.4), образуется числами

0,1,2........п 1, (7.Е.5)

если групповое умножение определено как сложение по модулю я (если, например, я = 7, то 5-4 = 2, так как 5 + 4 = 9 = 7-|-2 = = я-|-2). Элементы группы (7.Е.5) можно сопоставить элементам (7.Е.4) взаимно однозначным образом путем установления соответствия между k и ш*. Это соответствие имеет то свойство, что с его помощью „произведения преобразуются в произведения", т. е. из • k2 — kz следует со** • ш^ = и)*». Такие две группы называются изоморфными 1).

') Чтобы показать, что не все из доказанных выше теорем тривиальны, упомянем их следствие для теории чисел. Если л + 1 есть простое число, то числа 1, 2, 3......п образуют группу еще одним спо-

собом, если понимать под групповым умножением числовое умножение по модулю л + 1. Если, скажем, п + 1 = 7, то 3 • 5 = 1, так как 3 • 5 = = 15 = 2-7+1; при этом тождественным элементом будет 1. Тогда период каждого элемента является делителем п, порядка группы. Таким образом, мы обязательно имеем Ап = 1, если А есть элемент этой группы. Но это равносильно утверждению, что an = l (mod п + 1), если а есть одно из чисел 1, 2, 3......п. Это частный случай теоремы Ферма, ко-

торая, как следует признать, нетривиальна.
Абстрактная теория групп

79

Две группы изоморфны, если элементам А одной из них можно сопоставить элементы А другой, притом взаимно однозначно и так, что из АВ = С следует, что АВ = С, т. е. что АВ = АВ. Изоморфные группы в сущности совпадают; лишь индивидуальные элементы пронумерованы по-разному.

4. Имеются две группы порядка 4, т. е. две группы, не изоморфные одна другой. Все остальные изоморфны одной из этих двух. Первая группа — это циклическая группа, например 1, I,

— 1, —I с групповым умножением, определенным как числовое умножение. Вторая группа — это так называемая четыре-группа. Ее групповая таблица такова:

Е А В С
Е Е А В С
А А Е С В
В В С Е А
С СВАЕ
Все элементы этой группы (кроме Е) порядка 2: она также абелева.

5. Четыре-группа является первым примером весьма обширного множества групп, а именно симметрических групп. Рассмотрим правильный n-угольник на плоскости XV. Пусть координаты п вершин равны хк =« = г cos 2nk/n, уь = г sin 2nk/n (k = 0, 1, 2, 3,..., п — 1), и рассмотрим все линейные подстановки

х' = ах + f>y. у' = \х + Ьу,

которые преобразуют правильный n-угольник „в самого себя", т. е. для которого новые координаты вершин хг, уг могут быть снова записаны в виде

г 2пч I 2пч

х = г cos-------, у = г sin —i—

х п ft

(х = 0, 1, 2, 3....п — 1). Матрицы этих линейных подстановок образуют

группу, так как произведение любых двух подстановок, подстановка, обратная любой из подстановок, а также единичный элемент Б — все удовлетворяют условиям для элементов группы.

Подстановками, преобразующими л-угольник в самого себя, являются следующие, а) Вращения плоскости на углы 2nk/n (k = 0, 1, 2,.... п — 1); соответствующие матрицы имеют вид

2nk 2nk
80

Глава 7

Они образуют циклическую группу, б) Отражение плоскости в прямой и последующее вращение на угол 2nkjn. Соответствующие матрицы равны

Эти 2п матриц образуют группу порядка 2п, известную как группу диэдра. Матрицы (7.Е.6) образуют подгруппу этой группы, а матрицы (7.Е.7) — смежный класс по этой подгруппе. 4-группа с п = 2 является простейшим примером группы диэдра; n-угольник вырождается в две вершины, т. е. в отрезок прямой. В то время как 4-группа все еще является абелевой, другие диэдрические группы уже не являются абелевыми. Группа (7.Е.1) есть диэдрическая группа правильного треугольника и является первой неабелевой группой; элементы Е, F, D относятся к подгруппе, а А, В, С — к смежному классу.

Подстановки, преобразующие правильные многогранники в самих себя, являются важными и интересными группами, и известны как группы симметрии. Они обычно определяются с помощью правильных многогранников, которые они преобразуют в самих себя. Таким образом существует группа тетраэдра, группа октаэдра, группа икосаэдра и т. д. Они играют важную роль в кристаллофизике.

6. Весьма важны также группы перестановок. Рассмотрим

числа от 1 до л: 1, 2, 3.........п. Всякий порядок <Xj, а2, ..., ап
Предыдущая << 1 .. 23 24 25 26 27 28 < 29 > 30 31 32 33 34 35 .. 176 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed