Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
Из двух представлений можно составить одно новое, притом различными способами. Наиболее простым является, по-видимому, способ, при котором два представления просто сливаются в одно. Из представления D (И,), D(j42).......Е(ЛЛ) и другого предста-
вления D' (Л,) D' (Л2), . .., D' (Af) получаем этим способом новое представление, состоящее из суперматриц
0(И,) о \ /D (Л2) о \ /D (ЛЛ) о \
О D'04,)/ V О D'(А2))................. V 0 D'(Ah)j-
Преобразование подобия этого нового представления может замаскировать то обстоятельство, что оно было составлено первоначально из двух представлений. Представление, получающееся из представления вида (9.Е.2) с помощью такого преобразования подобия, называется приводимым. Ясно, что приводимые представления могут быть всегда приведены к виду (9.Е.2) с помощью некоторого преобразования подобия; иначе говоря, приводимые представления эквивалентны представлениям вида (9.Е.2). Представления, для которых это невозможно, называются не приводимыми.
Е А В С D F. (1) (-1) (-1) (-1) (1) (1)
(9.Е.1)
(9.Е.2)
Общая теория представлений
91
Представление, которое может быть приведено к виду (9.Е.2) одновременным переобозначением строк и столбцов всех его матриц, является, разумеется, приводимым. Действительно, такая перенумерация может быть выполнена с помощью преобразования подобия. Чтобы превратить у'-ые строку и столбец в у'-ые строку и столбец, выберем в качестве S матрицу Skl = Ьк1; тогда (S l)jm = ^jm
SSw(S-% = S8*T87;=V
а преобразование над 5 действительно достигает желаемого изменения нумерации:
A = S~'AS, J;, = | Ь,тА„\г = АГ1-
Рассмотрим разделение строк и столбцов системы матриц на две группы, скажем „помеченные" (чертой наверху) и „непомеченные". Любая система матриц, для которой это разделение можно произвести таким образом, чтобы на пересечениях „помеченных" строк с „непомеченными" столбцами и „непомеченных" строк с „помеченными" столбцами были бы только нулевые элементы, является либо приводимой, либо уже находится в приведенном виде. Чтобы показать это, достаточно заметить, что „помеченные" строки и столбцы можно перенести в верхнюю левую часть матриц, приведя представление к виду (9.Е.2).
В дальнейшем мы будем иметь дело с матрицами представлений, имеющими отличные от нуля определители. Тогда каждая матрица D(/l) имеет обратную. Так как умножение любого элемента группы А на тождественный элемент группы Е дает А,
умножение всякой матрицы представления D(/l) на матрицу D(?:), сопоставленную тождественному элементу, дает D(/l). Следовательно,
D (A) D(E) = D (A), D (?) = (1). (9.2)
Единичная матрица сопоставляется тождественному элементу группы. Произведение матриц D(/l) и D(/1_i), соответствующих обратным элементам группы, равно D(?)=l. Поэтому
D (A) D (л-1) = D (?) = 1, D (л-1) = [D (Л)]-1, (9.3)
откуда следует, что
0(Л_1) = 0(Л)+ (9.3а)
для представления унитарными матрицами.
Теорема 1. Всякое представление матрицами с отличными от нуля определителями может быть с помощью преобразования подобия преобразовано в представление унитарными матрицами.
92
Глава 9
Пусть матрицами представления группы порядка h будут Alt
А2......Aft. (Если представление не является точным, не все
элементы Aj, А2.......Aft различны.) Образуем эрмитову матрицу Н
путем суммирования по всем элементам группы
Н = 2АхА^ (9.4)
X
Доказательство сводится к диагонализации матрицы Н и нахождению обратной величины корня квадратного из нее. Будет показано, что последовательные преобразования подобия матриц Ах с помощью матрицы U, диагонализующей Н, и с помощью d'^* (квадратного корня из диагональной формы матрицы Н) приводят к представлению А», являющемуся унитарным.
Эрмитова матрица Н может быть приведена к диагональному виду d с помощью унитарной матрицы U:
d = U_1HU = 2 U_1AXA+U = 2 U_1AXU (U_1AXU)+ = 2 A,At
X X X
(9.5)
Все диагональные элементы матрицы d вещественны и положительны, так как, например,
dkk=2 2 (A x)kJ (A Skj = 221 (A x)kJ I2
X j X j
может обратиться в нуль только в том случае, если для данного k матричные элементы представления (Aравны нулю для всех j (и %). Однако в таком случае целая строка матрицы Ах состояла бы из нулей. Следовательно, ее определитель, а тем самым и определитель матрицы Ах, обратился бы в нуль в противоречии с исходным предположением. Поэтому d'/s и d~'/j могут быть однозначно построены из d путем взятия соответственно положительных значений квадратных корней или степеней — !/г от Диаг0* нальных элементов; d'/j и d~'/a являются вещественными диагональными матрицами: d'/j+ = d'/j, d~'/l+ = d~'/j.
