Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
Если JE, JAi, JAi.......JAfi — такие числа, что каждому элементу
группы X соответствует число J („У есть функция в пространстве группы"), то
л л л
2 = 2 -Ч* = 2 (7.1)
V гг 1 v=sl V = 1
Каждая сумма, очевидно, содержит одни и те же числа, но в различном порядке.
Пусть есть подгруппа группы Ш, включающая элементы
Е, В2, В3.......Bg. Совокупность g элементов ЕХ, В2Х, ВгХ,
.... BgX называется правым смежным классом 98%, если только X не встречается в подгруппе *) (поскольку, если бы X принадлежало 9§, элементы 98Х были бы элементами 98, как показывает теорема 1). Смежный класс, конечно, не является группой, так как он не может содержать ни единичного (тождественного) элемента Е, ни какого-либо другого элемента подгруппы 98- Предположим, например, что BttX=Bl\ тогда Х= Б*1 Bt, т. е. X содержалось бы в подгруппе 98, и 9&Х совпадало бы с 98. Аналогичным образом, элементы
ХЕ = X, ХВ2, ХВг...........XBg образуют левый смежный класс
по подгруппе 98-
Теорема 2. Два правых смежных класса по подгруппе 98 либо содержат одни и те же элементы, либо не имеют общих элементов вовсе. Пусть один смежный класс будет 98%, а другой — 9SY. Тогда из BkX=B,Y следует YX~l = BTlBk, т. е. YX~1 содержится в ,<$. В таком случае по теореме 1, примененной к подгруппе 98, последовательность EYX~l, B2YX *, .... BgYX~l совпадает с Е, В2, Вг...........Bg с точностью до порядка. Таким образом, EYX~lX, B2YX~1X, BzYX~lX..............BgYX~lX
также совпало бы с ЕХ, В2Х,ВгХ, ..., BgX с точностью до порядка. Но первые элементы являются членами смежного класса 9§Y = EY, B2Y, B3Y.........Таким образом, элементы <$Y сов-
падают с элементами 9&Х, если только совпадает один элемент. Критерием совпадения является то, чтобы YX 1 содержался в 98.
Например, одной из подгрупп группы (7.Е.1) является период элемента А, т. е. два элемента Е и А. Правый смежный класс по этой группе Получается при умножении каждого элемента на какой-либо другой элемент, например а, справа. Таким образом, мы получаем смежный
‘) Разумеется, X должно быть элементом группы да.
Абстрактная теория групп
77
класс ЕВ = В, АВ = D. Смежные классы также получаются умножением элементов Е, А на каждый из остальных элементов С, D, F. Смежный класс, получаемый при умножении Е, А
на В, есть В, D, на С, есть С, F, на D, есть D, В, на F, есть F, С.
Так, в этом случае смежные классы, полученные путем умножения на В и D (или С и F), совпадают. Заметим также, что BD~l — BF — А (или CF~l — GD — А) содержится в подгруппе Е, А.
Рассмотрим теперь все различные смежные классы по подгруппе J?. Пусть ими будут $Хг.....3SXV Каждый эле-
мент группы е%? встречается либо в , либо в одном из I—1 смежных классов. Так мы получаем все lg элементов. Поскольку каждый элемент встречается по крайней мере один раз и ни один из них не встречается дважды, lg должно равняться h. Это приводит к теореме 3.
Теорема 3. Порядок g подгруппы является целочисленным делителем порядка h полной группы. Отношение h/g = I называется индексом подгруппы относительно группы <%?6.
Так как период каждого элемента есть подгруппа с числом элементов, равным его порядку, то, следовательно, порядок каждого элемента есть делитель порядка группы.
Признак подгрупп. Если некоторая совокупность элементов группы содержит все произведения АВ всех элементов А и В, содержащихся в ней, то она образует группу, и, следовательно, подгруппу исходной группы. Сочетательный закон умножения имеет место для всех элементов группы, а тем самым и для рассматриваемой совокупности элементов. Вместе с каждым элементом А совокупность содержит также все его степени, и, следовательно, в ней встречается и единичный элемент Е. Наконец, если п есть порядок элемента А, то Л" = ? и Ап~1=А~1. Обратная величина каждого элемента также встречается в данной совокупности. Таким образом, все три групповых постулата выполнены.
Примеры групп
1. Группа, содержащая лишь один элемент, состоит из одного только элемента Е.
2. Группа порядка 2 имеет следующую групповую таблицу умножения:
Е А
Е Е А
А А Е
78
Глава 7
Эта группа является абелевой. Мы назовем ее группой отражения, так как она составлена из тождественного преобразования и преобразования отражения х' = — х.
3. Группа порядка 3 может содержать наряду с единичным элементом только элемент порядка 3, так как ее порядок должен быть целым делителем трех (отличным от 1). Она состоит из одного периода. Ее элементами являются
Е. А, А2(А* = Е).
Таким образом, эта группа абелева.
То же самое имеет место для всякой группы, порядок которой является простым числом р. Элементы таких групп имеют вид
