Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
В обычной подгруппе, как во всякой группе, элементы
N ]Е = Nj, NjN2.N]Nn (8.Е.1)
совпадают с элементами подгруппы с точностью до порядка. То же самое имеет место для последовательности
EN]' = Nj\ N2N]'...............NnNjl (8.Е.2)
и последовательности
NjENJl = E, NjN2NJl.....NjNnNj\ (8.E.3)
образуемой из (8.Е.2) при подстановке последовательности (8.Е.1) вместо первого множителя в каждом члене (это лишь меняет порядок членов). Все Nt являются здесь элементами подгруппы.
С другой стороны, когда элементы Е, N2............Nn образуют
инвариантную подруппу, последовательность
ХЕХ~' = Е, XN2X_1.....XNnX~\ (8.Е.4)
где X— некоторый произвольный элемент полной группы, с точностью до порядка совпадает с элементами инвариантной подгруппы. Все элементы (8.Е.4) встречаются в инвариантной подгруппе, так как они сопряжены с элементами подгруппы; как мы
84
Глава 8
сейчас покажем, все элементы инвариантной подгруппы встречаются в (8.Е.4). Чтобы найти некоторый элемент Nk в (8.Е.4), нужно лишь построить X~lNkX. Этот элемент должен быть среди элементов Е, N2, ..., Nn. Пусть им будет NТогда Nk = XNtX~l и Nk встречается в (8.Е.4) на i-м месте.
Каждая подгруппа абелевой группы является инвариантной подгруппой. Каждый элемент образует класс сам по себе; поэтому каждая подгруппа должна состоять целиком из полных классов. Симметрические группы имеют одну, и вообще только одну инвариантную подгруппу, состоящую из всех четных перестановок. Четные перестановки образуют подгруппу, так как произведение двух четных перестановок есть снова четная перестановка. Кроме того, элемент, сопряженный с четной перестановкой, должен быть четной перестановкой и поэтому также встречается в подгруппе (см. также гл. 13).
В примере (7.Е.1) элементы Е, D и F составляют инвариантную подгруппу. Читателю предлагается проверить другие теоремы для специального случая этой группы.
Определение инвариантных подгрупп очень важно для изучения строения группы. Группы, не имеющие инвариантных подгрупп, называются простыми группами.
Фактор-группа
Рассмотрим теперь смежные классы по инвариантной подгруппе <§?. Элементы EU=U, N2U, ...,NnU образуют правый смежный класс по SI. Они образуют также левый смежный класс,
так как U=UU~lEU, N2U=UU''N2U.................NnU = UU~1NnU
совпадают с элементами U=UE, UN2, ..., (JNn с точностью до порядка. Иначе говоря, комплекс ?4U совпадает с комплексом USI. Поэтому можно говорить просто о смежных классах по инвариантной подгруппе, не уточняя, являются ли эти смежные классы правыми или левыми').
Перемножим все элементы одного смежного класса SIU со всеми элементами другого смежного класса <§?'/. Тогда NjUNtV = = NjUNfU^UV = NkUV, так как и Nj и UN^-1, а поэтому и их произведение Nk содержатся в <5?. Процесс перемножения дает таким образом элементы единственного смежного класса SIUV.
‘) В этом можио убедиться также другим способом. Чтобы U и V были в одном и том же правом смежном классе (см. стр. 76), надо, чтобы UV~l входило в 31. Чтобы они были в одном и том же левом смежном классе, надо чтобы V~XU входило в Но если St является инвариантной подгруппой и содержит UV~l, то она должна также содержать и V-1 • UV~l ¦ V = V~lU. Поэтому два элемента встречаются в одном и том же левом смежном классе, если только они имеются в одном и том же правом смежном классе, и наоборот.
Инвариантные подгруппы
85
Если рассматривать смежные классы по инвариантной подгруппе как новые объекты и определить произведение двух смежных классов как смежный класс с элементами, получаемыми в результате перемножения элементов двух смежных классов, то сами смежные классы образуют группу. Эта группа называется фактор-группой инвариантной подгруппы. Единичным элементом фактор-группы является сама инвариантная подгруппа. Каждый элемент N,U смежного класса SIU дает опять элемент смежного класса Siu при умножении (справа или слева) на элемент Nt из St. В явном виде это запишется так:
¦ NjU=NtNj ¦ U = Nk - U и N} - UNt = . UNlU~1U=NkU.
Во-вторых, каждый смежный класс StU имеет обратный смежный класс Это значит, что
NjU ¦ NtU-l = Nj ¦ = N„,
что дает нам элемент самой инвариантной подгруппы. Произведение StU и StU~l сводится, таким образом, к St, единичному элементу фактор-группы.
Порядок фактор-группы подгруппы St равен числу смежных классов по St, т. е. ее индексу. Не следует смешивать факторгруппу с подгруппой: элементы подгруппы являются элементами группы, тогда как элементами фактор-группы являются смежные классы.
Теоремы, доказанные выше, можно также получить еще проще с помощью символического метода, в котором совокупность элементов, их комплекс, обозначается одной буквой, скажем, Ч§. Произведение комплекса ^ на элемент А опять является комплексом &А, элементы которого получаются при умножении всех элементов комплекса ^ на А справа (или слева, чтобы получить А*&). Произведение двух комплексов ^ и g# есть комплекс элементы которого получаются, когда все элементы ^
