Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
R_1MS • D(1) (A) = D(2) (A) • R_1MS,
и R_1MS можно было бы просто заменить символом М.
, Примем далее, что ^ ^/2- Если 1ХУ> 12, мы просто-транспони-руем соотношение (9.11), после чего дальнейшие рассуждения применимы без изменений. Замечая, что в силу унитарности матриц
D(1)(A)+=D(1)(AJ_1 = D(1)(A~1) и D(2)04x)+ = D(2)(A_1), и беря от (9.11) сопряженное, получаем
D(1) (ДГ1) М+ = M+D(2) (Л-1). (9.13j
Поскольку соотношения (9.11) имеют место для всех элементов группы и, в том числе, для А71, умножение (9.13) слева на М дает
MD(1)j(A'1)M+ = MM+DC!)(i4x'1), - (9.14)
D(2) (а-1) ММ+ = MM+D(2) (а-1). (9.15)
Таким образом, эрмитова матрица ММ+ коммутирует со всеми
матрицами D(2)(-/4j), D(2)(/l2).... Б(2)(ЛЛ) второго неприводимого
представления. Следовательно, согласно теореме 2, она является кратной единичной матрице:
ММ+=с1. (9.16)
Если размерности двух представлений D(1) и D(2) одинаковы, то имеются две возможности. Либо с Ф 0 и тогда определитель |с1| = сг не равен нулю, откуда следует, что определитель матрицы М не равен нулю и что М имеет обратную; либо с = О и тогда ММ' =0, так что М является нулевой матрицей. Чтобы проверить это, выпишем
= = 0 (9.17)
к
(9.12)
96
Глава 9
и положим I = _/; тогда получим
2 I М1к |2 = О, к
(9.18)
откуда следует, что Л1/4 = 0, так как ни одна из величин | М1к |2 не може!- быть отрицательной, а соотношение (9.18) запрещает какому-либо из них быть положительным. Тем самым доказывается теорема в случае 1Х = 12.
С другой стороны, если размерности двух представлений различны, матрица М является не квадратной, а прямоугольной. Однако ее можно сделать квадратной путем дополнения нулями:
N =
Л1ц Мп уИ21 М22
М
М.
1а
2 а
О
о
м
Ьа
(9.19)
При этом соотношение MM+ = NN+ сохраняется. Определитель матрицы N, а также и матрицы NN+=MM+, разумеется, равен нулю. Тогда с в (9.16) обращается в нуль, так что (9.17) и (9.18) снова остаются справедливыми. Этим теорема 3 полностью доказана.
Теорема 1А. Если два произвольных представления одной и той же группы А), А2, ..., Ал и В,, В2, ..., Вд унитарны и эквивалентны, т. е. существуют такие матрицы любого вида М, что
МАХМ = Вх (* = 1, 2, ..., А),
(9.20)
то эти два представления могут быть преобразованы одно в другое с помощью унитарного преобразования. Иначе говоря, существует такая унитарная матрица U, что
UAjU-1 = Вх (* = 1, 2,..., А).
(9.21)
Чтобы доказать эту теорему, найдем та^сую матрицу К, коммутирующую со всеми Вх, чтобы произведение U = КМ также было унитарной матрицей. Если такая матрица найдена, то, согласно (9.20),
Вх = KBXK_1 = KMAXM-1K_1 = (КМ) Ах (КМ)-1 = UAXU-1 (9.21а)
и теорема будет доказана.
Согласно (9.20),
МА. = В.М
(*=*1. 2......Л),
(9.22)
откуда, как и ранее, следует, что ММ+ коммутирует со всеми матрицами второго представления:
в*мм+ = мм+в.
(х= 1, 2.....Л).
(9.22а)
Следовательно, преобразование подобия с матрицей ММ1" не меняет второго представления. Отсюда видно, что матрица ММ+ или некоторая
Общая теория представлений
97
родственная матрица могут удовлетворить требованиям, налагаемым на К. Требование унитарности матрицы КМ имеет вид
М+К+КМ=1, т. е. К+К = (М+)_1(М)-1 = (ММ+)-1. (9.23)
Поэтому не сама матрица ММ’1", а ее степень — ‘/г должна быть равна К.
При построении матрицы (MMf) /г мы воспользуемся методом, использованным при доказательстве теоремы 1. Прежде всего Приведем ММ+ к диагональному виду с помощью унитарной матрицы V:
V_1MM+V = d, ММ+ = V dV-1. (9,24)
Это приведение всегда может быть выполнено, так как матрица ММ+ эрмитова; более того, все диагональные элементы матрицы d вёщественны и положительны ‘). Теперь можно построить матрицу d-'4 которая также диагональна и имеет положительные вещественные элементы. Наконец, выполнив преобразование с помощью V-1, получим К:
К = Vd~‘/2V_1. (9.25)
Покажем теперь, что К коммутирует со всеми Вх и что КМ унитарно. В силу (9.22а) и (9.24)
BXV dV-1 = V dV-1Bx, V~1BxVd = dV“1B)1V, (9.26)
т. e. диагональная матрица d коммутирует со всеми V_1BXV. Поэтому во всех V-1B*V лишь нули могут появляться на пересечениях тех строк и столбцов, для которых диагональные элементы в d различны. Тогда эти матрицы также коммутируют с d~'4 так как в d-1^ различны только те диагональные члены, которые были различны в d. Поэтому
V~LBxVd~I/a = d~I/aV_1BxV, В*К = КВХ (9.27)
и К действительно коммутирует со всеми матрицами представления В,,
