Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
.....<> = d'2>(^v
Представление симметрической группы трех объектов, которое уже рассматривалось здесь несколько раз,
“(?)_(' ?), _J), 0(4 = ^
___L______L -уЛз^
D(C) = [ j2_ |, D(D)= , (7.Е.1)
D (F) =
L у з -L
V 2 V 2
____L —L /зч
2 2
1/3 -1
.2 2
неприводимо. Если бы оно было приводимым, все его матрицы могли бы быть приведены к диагональному виду одним и тем же преобразованием подобия, и поэтому все матрицы должны были бы коммутировать, так как они коммутировали бы в диагональном виде. Это, однако, не имеет места, как можно видеть, например, из соотношений
D (А) D (В) = D (D), D (В) D (Л) = D (F) ф D (D).
Согласно теореме 2, только матрица, кратная единичной, может коммутировать со всеми матрицами (7.Е.1). Из этого простого примера сразу видно, что только диагональная матрица может коммутировать с D (Л), в то время как диагональная матрица может коммутировать с D (В) только в том случае, если два ее диагональных элемента равны. Таким
Общая теория представлений ______________
образом, уже коммутативность с D (Л) и D (В) ограничивает нас матри цами, кратными единичной. Согласно (9.31), четыре вектора v(n), v<12' VW) и ^,(22) с компонентами:
„(») —1 Л”) =1 „HD =___L „(11)____L
VE — ’ VA — !» VB------2 ’ с------Т ’
t/n> = — — „(id L-
VD 2 ’ VF — 2 ’
*<р> = 0, ^2) = 0, 412) = |/з, я'и)=-1/з,
,<«>=1/3, ^ = —1/3-;
„|,) = 0. ^21> = о, ^21> = 4/з. „(«> = —1/3.
„g^-I/з, 421) = i/3-;
^) = 1, „g2» —1. ^) = 4. 422)=-§-.
„(22) _ _ Л. „(22) _ _ 1
и?>----Т ’ ^ “ 2 ’
должны быть взаимно ортогональны. Так, например,
(*<”>. z><12)) = 1-о+1-о +(-4)-(4^) + (-¦§-)•(- fV3) +
+(_т)'т^+(_т)'(^ Т^)=а
К тому же длины этих векторов должны быть равны Y h ' —1^6/2 = Уз так, например, для вектора
(,(21) „(21)) = 02 + 02 +1 + 3 + | + 3 = з
В качестве примера соотношения (9.30) рассмотрим очевидно неприводимое представление (9.Е.1) той же группы, данное на стр. 90-
б(?) = (1), 5 {А) = (—1), D (В) = ( 1),
D (С) = (—1), D (D) = (1), 0(0 = (1),
и тривиальное представление одной лишь единичной матрицей'
fj(?) = (l), В(Л) = (1), D (В) = (1),
D (С) = (1), D (D) = (1), D(/*)=(l).
Все четыре вектора г» должны быть ортогональны вектору = D (^)ц.
а также вектору г^= D (Л)п = 1. Например,
(г><22>, «0=Ы + (-1) • (-1) +1 • (-1) + -i С
102
Глава 9
Рассмотрим теперь все неэквивалентные неприводимые представления некоторой группы. Матрица D(1) (R) имеет размерность Zj, матрица D(2)(/?) — размерность /2........ матрица
D(e) (R) — размерность 1С\ все представления предполагаются унитарными. Тогда (9.30) и (9.31) могут быть записаны в виде одной формулы:
2 DU) (Я) ]/"!l D{J,) (/??.,. Vr‘i- = bjj. ъ„.
* (9.32)
(ji, v=l, 2......If, ц', v'=l,2...........ly\ j, j'= 1, 2.........c).
Bee h-мерные векторы, {их число равно /1 —|— /1 —1— ... ~Ыг) в про-странстве элементов группы взаимно ортогональны’.
= (Я)рт.
Поскольку в пространстве Л измерений может существовать самое большее h ортогональных векторов, то, следовательно, сумма квадратов размерностей всех неэквивалентных неприводимых представлений ^ + /2+ ... + /? равна самое большее порядку представляемой группы. Действительно, можно показать, что сумма квадратов l\-\- ll• • • +4 = А в точности равна порядку этой группы. Однако мы опустим здесь доказательство этой теоремы (см. стр. 140).
Преобразуем теперь соотношение (9.32). Обозначим сумму диагональных элементов, или след, матрицы D(^(/?) через х<Л(Я), так что
Ч
х('>(Я)=2 du\r)^.
Совокупность чисел, включающая h величин х(^(?). Х'^НАг)- •••
.... называется характером представления D(/)(#)- За-
дание некоторого представления с помощью характера имеет то преимущество, что он инвариантен относительно преобразований подобия. Согласно (9.32),
R
Суммируя по ц. от 1 до l'j и по ц' от 1 до I)’, получаем
Ч . ‘j’ ч
2 Х,У)(Я) Xю(ЛГ = г, iff 2 2 V = г, 2 1 = Л V. (9.33)
Л 1*.«1 и’-1 ; |).«1
Общая теория представлений
103
Характеры х(7'ЧЯ) неприводимых представлений образуют ортогональную систему векторов в пространстве элементов группы. Отсюда следует, что два неэквивалентных неприводимых представления не могут обладать одним и тем же характером и что неприводимые представления с равными характерами эквивалентны.
