Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
этих п чисел образует перестановку. Таким образом, всего суще-
Объекты, которые должны быть переставлены, записываются в их естественном порядке в верхней строчке, а во второй строчке — в порядке, возникающем в результате рассматриваемой перестановки. Перемножение двух перестановок Pj и Р2 производится таким образом, что те изменения, которые Р2 должна вызывать в естественном порядке, происходят с предметами в порядке Pv Так, если
Это значит, что, поскольку Р2 преобразует 1 в 3, 3 появляется в РХР2 там, где 1 находится в Рх. Аналогичным образом, так как Р2 преобразует 2 в 1, 1 появляется в РХР2 там, где 2 находится р Pj, и т. д,
(7.Е.7)
ствует п! перестановок п предметов, обычно обозначаемых символом
то
\2 1 3
12 3 3 1 2
1 2 3'
1 3 2
Абстрактная теория групп
81
Если Рх переводит k в ak, Р2— aft в (3ft и Р3— (3ft в то РХР2 переводит k в (3ft, а Р2Р3— в Таким образом, как (Р1Р2) • Я3. так и Рх • (Р2Я3) преобразуют aft в следовательно, перемножение перестановок ассоциативно.
Совокупность всех п! перестановок п объектов образует группу с тождественной перестановкой
'1, 2, 3.......
Л 2, 3...........
в качестве единичного элемента. Эта группа называется симметрической группой!) степени п. Симметрическая группа третьей степени имеет порядок 6; она изоморфна группе (7.Е.1) и, следовательно, группе диэдра с п = 3. Соответствие между ними следующее:
1 2 3\ /1 2 3\ /1 2 3
1 2 ъ) \2 1 3/ \1 3 2
Е А В
1 2 3\ /1 2 3\ /1 2 3
3 2 1/ \3 1 2/ \2 3 1
С D F
Симметрические группы также играют существенную роль в квантовой механике.
Сопряженные элементы и классы
Элемент ХАХ_1 называется элементом, сопряженным с А.
Если два элемента А к В сопряжены с третьим элементом С, то они также сопряжены друг с другом: из А = ХСХ~1 и B=YCY~l следует, что Х'1АХ=С и В = YX^AXY-1 = (КА'-1) A (YX~1)~\
Те элементы группы, которые сопряжены друг с другом, образуют
класс. Класс определяется заданием одного из его элементов А; весь класс может быть тогда получен путем построения последовательности
ЕАЕ 1 = А, А2АА2 \ А3АА31, ..., AfrAAfr
Все элементы этой последовательности солряжены с Л и друг с другом; кроме того, каждый элемент, сопряженный с А (и, таким образом, каждый, сопряженный с любым элементом этой последовательности) встречается (и притом более, чем один раз) в этой
') Ее часто также называют группой перестановок, но никогда н? называют группой симметрии.
82
Глава 7
последовательности. Поэтому элементы группы могут быть разбиты на классы; каждый элемент встречается в одном и только в одном классе.
Тождественный элемент группы образует класс сам по себе, так как он не сопряжен ни с каким другим элементом: XEX~l = Е для всех X. За исключением этого класса, состоящего только из одного элемента Е, никакой класс не является подгруппой, потому что ни один из них не может содержать единицу Е. В абелевых группах каждый класс состоит в точности из одного элемента, поскольку ХАХ~1 = А для всех X.
Все элементы класса имеют один и тот же порядок. Если Ап = Е, то (A'AY-1)” также равно Et как это видно непосредственно:
(ХАХ~1У = (ХАХ~1) ¦ (ХАХ~1) ... (ХАХ~1) =
= ХАпХ~х = XEX~l = Е.
В группе подстановок (группе матриц) все матрицы, принадлежащие одному и тому же классу, имеют одинаковый след. Чтобы показать это, рассмотрим а и р, принадлежащие одному классу. Тогда существует такой элемент группы, т. е. матрица у. что
р = т*т-1.
Следовательно, Тг(1 = Тгу«Х_1 = Тг®-
Например, образуем класс С в группе (7.Е.1). Он состоит из элементов
ЕСЕ-1 = С, АСА-1 = В, ВСВ-1 = А, ССС"1 = С,
DCD~1 = A, FCF-1 = В.
Класс С, таким образом, состоит из элементов А, В, С; он также является классом А или В. Все три элемента А, В, С имеют порядок 2, и след матричного представления (7.Е.1) этой группы равен 0 для всех трех элементов. Класс D содержит элементы
EDE~1 = D, ADA~X = F, BDB-1 = F, CDC^^F,
DDD-1 = D, FDF -1 =. D.
Таким образом, класс D (или F) состоит из двух элементов D, F.
Глава 8
ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДГРУППЫ
Подгруппа, состоящая исключительно из целых классов первоначальной группы, называется инвариантной подгруппой. Пусть St~E, N2, Nn есть инвариантная подгруппа. Будучи группой, она должна содержать наряду с и Nj также их произведение NtNj. Кроме того, она содержит XNlX~1, где X является любым элементом полной группы, поскольку инвариантная подгруппа содержит все элементы XNtX~1 некоторого класса, если она содержит один элемент Nt этого класса. Обычная подгруппа содержала бы XNtX~l только в том случае, если бы наряду с N[ она содержала и X.
