Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
Е А В С D F
Е Е А В С D F
А А Е D F В С
В В F Е D С А
С С D F Е А В
D D С А В F Е
F F В С А Е D
') Мы пользуемся символом Е (единица) для представления единичного элемента группы.
74
Глава 7
Первый множитель берется в первом столбце, второй—в первой строке, а произведение появляется на пересечении соответствующих столбца и строки в таблице. Эта таблица объединяет все правила умножения матриц (7.Е.1).
Дадим строгое определение группы. Группа есть некоторая совокупность объектов (элементов группы), в которой определен один вид операции, называемый умножением. Это умножение указывает для всяких двух элементов группы (множителей) третий элемент группы, произведение '). Это групповое умножение, которое является свойством, присущим элементам группы, должно также обладать следующими свойствами.
1. Должен иметь место сочетательный закон. Если AB — F и BC — G, то FC = AG. Если элементы группы являются матрицами и если под групповым умножением мы понимаем матричное умножение, то сочетательный закон всегда имеет место (согласно теореме 3 гл. 1). Группы, в которых выполняется также перестановочный закон умножения, т. е. в которых АВ — ВА, называются абелевыми группами.
2. Среди элементов есть один (и только один), который называется тождественным или единичным элементом Е и который обладает тем свойством, что его произведение на любой другой элемент дает именно тот другой элемент, т. е. ЕА = АЕ = А.
3. Каждый элемент имеет обратный. Это значит, что для каждого элемента А существует такой элемент В, что ВА—Е. Тогда можно также показать (как в теореме 5 гл. 1), что АВ = Е. Действительно, из ВА = Е следует ВАВ = В; тогда, если С есть элемент, обратный В, получаем, что СВАВ — СВ, т. е. АВ — Е. Элемент, обратный А, обозначается через А *.
Эти три свойства элементов группы и группового умножения являются определением группы. При формулировке их в этом (или каком-либо ином) виде о них говорят как о групповых аксиомах или групповых постулатах.
Правило. Элемент, обратный произведению ABCD..., образуется путем перемножения обратных отдельным множителям в обратном порядке (как это имеет место для матриц). Таким' образом,
(ABCD...)~l= ...D~lC~lB~lA~l.
Это равенство может быть доказано сразу, так как
(.. ,D~1C~1B~1A~l)(ABCD.. .) = Е.
Следует заметить, что из АХ=В и AY — В вытекает, что X—Y, поскольку как X, так и Y, очевидно, равны А~гВ. Так же
*) В дальнейшем будем иметь в виду систему матриц с п строками.
Абстрактная теория групп
75
из ХА=В и YA = B следует X=Y = ВА~1. Если группа содержит лишь конечное число h элементов, она называется конечной группой, причем h называют порядком группы.
Теоремы для конечных групп *)
Рассмотрим некоторый элемент X. Тогда можно образовать последовательность элементов
Е, X, X'2, X*, X*. X5,... (7.Е.2)
и т. д. Так как все элементы (7.Е.2) являются элементами группы и полное число всех элементов конечно, то один из членов последовательности должен появиться второй раз после определенного числа степеней. Пусть первый повторяющийся элемент есть Хп = Xk (с k < я). Тогда мы должны иметь ft = 0 и Хп = Е\ в противном случае Xn~l = Xk~l уже появилось бы ранее в последовательности (7.Е.2) и X не было бы первым повторяющимся элементом. Если п есть наименьшее число, для которого Хп = Е, то п называется порядком элемента Л". Последовательность
Е, X, X2, X3.......Xn~l (7.Е.З)
называется периодом элемента X. Например, период элемента D в группе (7.Е.1) есть Е, D, D2 = F (D3=FD = E) и порядок D таким образом есть 3. Период элемента F есть Е, F, F2 = D (F3 = DF = Е) и порядок F также равен 3. С другой стороны, порядок элемента А есть 2, поскольку сразу А2 = Е.
Период элемента X образует группу сам по себе (причем абелеву группу). Некоторая совокупность элементов группы, сама по себе составляющая группу, называется подгруппой. Например, (7.Е.З) является абелевой подгруппой.
Теорема 1. Если Ш есть группа порядка h с элементами Е, А2, А3.........Ah и если Ak — произвольный элемент
этой группы, то каждый элемент встречается один и только один раз в последовательности EAk = Ak, A2Ak, A3Ak, .... AhAk. Пусть X—любой элемент и пусть ХА^Х = АТ\ тогда ArAk = X и X встречается в последовательности. С другой стороны, X не может встретиться дважды, потому что из ArAk = X и AsAk = X следует Ar = As.
Разумеется, то же имеет место для последовательности AkE, ЛИ2. А*А . АкАЛ. Теорема 1 выражает тот факт, что
') Все теоремы для конечных групп рекомендуется проверить на группе (7.Е.1). С этой целью следует воспользоваться групповой таблицей.
76
Глава 7
в каждом столбце групповой таблицы (так же как и в каждой строке) каждый элемент встречается один и только один раз. Эта теорема имеет следующее простейшее и наиболее важное приложение.
