Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
В действительности, последнее утверждение не вполне справедливо, так как зависящее от времени уравнение Шредингера не может объяснить спонтанного излучения. Согласно этому уравнению, атомы стабильны в течение сколь угодно долгого времени даже в возбужденных состояниях (таких, как потому что ср = ф/?ехр[—t(F/h)t] является решением уравнения (6.1). Тем не менее уравнение Шредингера охватывает процесс поглощения (так же как и индуцированное излучение), так что мы должны получать правильные результаты, коль скоро спонтанное, излучение не играет существенной роли, т. е. до тех пор, пока атом находится почти полностью в основном состоянии Мы увидим позднее, что то же предположение понадобится для завершения вычислений; оно справедливо, если атом первоначально находился в наинизшем состоянии если рассмотрение ограничено сравнительно короткими промежутками времени и если интенсивность падающего света не является слишком большой (что трудно осуществимо на практике).
Рассмотрим теперь процесс поглощения. Предположим, что в момент t = 0 система находилась в состоянии ср(0) = ф?; затем состояние меняется согласно уравнению
^¦^- = Hcp = (H0 + Hi)cp, (6.8)
где член Н0—гамильтониан в отсутствие падающего излучения, a Hj — дополнительный оператор, включающий излучение. Излучение является просто переменным электрическим полем
Ьх = Рйя«*. $у = 0, $г = 0. (6.9)
Зависимостью напряженности поля от координат можно пренебречь в силу того, что размеры атома малы. Таким образом, потенциальная энергия в (6.2) должна быть заменена на
У + Hj = V е{хх-\- х2-\- ... -j-x^Psinutf. (6.8а)
68
Глава 6
Зависимость волновой функции от времени, которая имела бы вид
ср = ф?ехр(— /-§-*)• (6Л°)
если бы Р было равно нулю, видоизменяется дополнительным потенциалом, рассматриваемым как возмущение. Уравнение для ср записывается в виде
ih-^= Н0ср + (еР sin о)^) (лг х —1— лг2 —J— ... —|— лг^ ср. (6.11)
Чтобы решить это уравнение, разложим'ср по полной системе собственных функций оператора Н0:
cP(O = fl?(*)<!,?+fly7(O<!v + flo(O<!,0+ •••• (6.12)
где коэффициенты аЕ, ар, aQ, ... не зависят от координат jclf
jc2.....xN, а функции ф0, ... не зависят от времени.
Тогда состояние может быть охарактеризовано коэффициентами
разложения а^ ар, aQ........вместо волновой функции ср.
Квадраты модулей этих величин, |я?|2, |а/=-|2. |ао|2> ••• дают, вероятности различных возбужденных состояний атома. Если атом не возбужден световой волной, эти вероятности не меняются во времени, и, поскольку вначале только |а?р=1 было отличным от нуля, то же самое остается справедливым и все время. С другой стороны, если световая волна падает на атом, возбуждаются также более высокие состояния. Вычислим интенсивность такого возбуждения. Для этого предположим, что при t = О
в?(0)=1, в,(0) = 0. во(0) = 0. ...
и что частота света ш приближенно дается частотой, соответствующей энергии перехода,
F — E=^hw. (6.Е.1)
Если выражение (6.12) для ср подставить в (6.11), получим дифференциальное уравнение для временной зависимости коэффициентов а^ ар, aQ........Так как мы интересуемся возбуждением
первого возбужденного состояния составим скалярное произведение этого уравнения на ifp\ тогда в левой части остается лишь член с ар в силу ортогональности собственных функций оператора Н0 [см. (4.12), (4.12а)], и мы получим daB(t)
№ —gf — = Fap-\-(Pe sinwt)(XPEaE-\-Xppap-\-XpQaQ-\- ...),
(6.13)
где мы подставили (6.6):
(Фа* (ЛГ1 “Ь Х2 • • • “КФе) = ^FET
Теория преобразований и интерпретация квантовой механики
69
Два члена в правой части (6.13) имеют совершенно различный порядок величины. Энергия Е имеет порядок величины в несколько электронвольт. С другой стороны, лишь в очень интенсивном луче монохроматического света амплитуда электрического вектора Р достигает величины 10-2 в/см. Матричные элементы величины X равны примерно 10-8 см, так что PeXsrflO-10 в. Поэтому мы можем написать
а? = ехр(— /-§-*)' aF=0’ аа — °. •••
во втором члене в правой части (6.13). Поскольку этот член уже мал, подставим в него приближенную волновую функцию (6.10). Она в свою очередь получается при полном пренебрежении возмущением в правой части уравнения (6.13). Это дает daF(t)
ih-
= Fap{t) -\-PtXpE sin wt exp ^— / 4 i'j. (6.14)
dt
Для интегрирования этого уравнения мы сделаем подстановку
М*)=6 (*) ехр(— 1Т *)•
Тогда
dt
exp ^—/ 4 / j ih
= -тр Xfe{ exp [-/ (-f +») /] - exp [-1 (4 - ») /]}. откуда, умножая на exp ^4*) и интегрируя, получаем
