Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
которая коммутирует со всеми D(u) вида (26.326). Это следует из леммы Шура гл. 9, теорема 2. Матрица с в правой части (26.Е.4) представляет собой произвольную матрицу с двумя строками и двумя столбцами, а (26.Е.4) — прямое произведение такой матрицы на единичную матрицу той же размерности, что и Д. Поэтому общим решением уравнения (26.38) в этом случае будет
Поскольку D(a0) должно быть унитарным, матрица с также должна быть унитарной. Второе условие (26.38а) для D(a0) дает
В этом равенстве 1 представляет собой двумерную единичную матрицу. Из ± А (а2) следует, что сс*= ± 1. Предположим,
что в этом случае применим нижний знак; ниже будет показано, что представление становится приводимым, если взять верхний знак [и, следовательно, (26.35а)]. Тогда из условия унитарности сс+ = 1 следует, что с* = — с+ =—с*г, т. е. что с антисимметрична. Поскольку общий множитель во всех D(a) остается произвольным, можно положить
а это дает в случае, когда для представления А осуществляется возможность (26 356),
Остается еще рассмотреть лишь случай сс* = 1. В этом случае с является симметричной унитарной матрицей. Согласно (24.46), она может быть записана в виде г-1й)г, где г — вещественная ортогональная матрица, a to — диагональная матрица. Поэтому,
(26.Е.4)
(26.396)
(с X Р) (с* X П - сс* X РР* = D (а20) = 1 X А (а20).
(26.406)
408
Глава 26
если D преобразуется с помощью
«=г-'Х1. (24.41)
(г двумерна, а 1 /-мерна), D(u)=l не меняется, a D(a0) = = с ХР переходит в (г X l)(r_1u>r ХР)(г-1 X 1)= w ХР- Таким образом, это представление распадается на два /-мерных представления типа (26.40а).
Резюмируя, мы можем сказать, что имеются три типа неприводимых копредставлений, т. е. неприводимых решений системы (26.21). Тип неприводимых копредставлений, который рассматривался раньше других, но который мы будем называть третьим типом, содержит два неэквивалентных неприводимых представления унитарной подгруппы, А и
А (и) = А (а_1иа)*, (26.27а)
где а — антиунитарный оператор. Заметим, что А и А эквивалентны; соотношение между представлениями А и А взаимно. Копредставления первого типа содержат лишь одно неприводимое представление А унитарной подгруппы. В этом случае— который является наиболее частым — А и А эквивалентны; матрица р, преобразующая А в А, удовлетворяет соотношению рр* = А(а2), Последний тип копредставлений, который будет называться вторым типом, содержит одно и то же неприводимое представление А унитарной подгруппы дважды. Это А также эквивалентно А, но в этом случае для матрицы р, которая преобразует А в А, выполняется соотношение РР* = = — Д(ао)- & третьем типе копредставлений А и А неэквивалентны. Эти три типа копредставлений даются парами соотношений (26.32а) и (26.40а), (26.326) и (26.406) и, наконец, (26.31) и (26.31а). Из этого перечня следует, что каждое неприводимое представление унитарной подгруппы содержится лишь в одном неприводимом копредставлении. Если А и А эквивалентны, то А содержится в копредставлении лишь один раз, если онф удовлетворяет (26.35а), и два раза, если для него выполняется (26.356). Отсюда также следует, что неприводимые части копредставления полностью определяются неприводимыми частями матриц, соответствующих унитарной подгруппе, и, следовательно, характером унитарной подгруппы. Копредставление, как и представление, не может быть разбито на неприводимые части двумя существенно различными способами. Отсюда, далее, следует, что антиунитарные операторы никогда не приводят к дополнительной классификации типов собственных значений, (не приводят к новым квантовым числам) сверх той классификации, которая дается унитарной под-
Обращение времени
409
группой '). Они могут быть ответственны за совпадение собственных значений. Так, если А и А неэквивалентны, собственное значение с представлением А всегда совпадает с собственным значением с представлением А. Антиунитарные операторы симметрии могут быть также ответственны за обращение матричных элементов в нуль.
Читателю рекомендуется проверить, что независимо от того, какой антиунитарный оператор играет роль а0 в предшествующем вычислении, получается тот же самый тип расширения унитарного представления на копредставление. Для этого нужно лишь показать, что если в (26.32) заменить а0 на другой антиунитарный оператор и0а0. соответствующее А эквивалентно А, если последнему эквивалентно А, даваемое выражением (26.32). Оказывается, что если а0 заменить на и0а0, то ? из соотношения (26.32) заменяется на у = А(и0)р. Далее, в зависимости от того, какому из соотношений (26.35а) или (26.356) удовлетворяет [3, у будет удовлетворять тому же самому соотношению с заменой а0 на U0a0. Все это следует из вышеизложенной теории, так как тип непредставления, содержащего определенное А, не может зависеть от произвола в выборе оператора а0.
