Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
рМ = + cos2y +2" У Р sin2y_2" 7 Р =
_ (j — Ео)(j — Ро — 1)... (j — е — 1) О + Й-о + 1) О + + 2) ... (У + ц)
или, так как
/ 1 \ И-о — И-
(tg2jp) Р(н)
РМ =~ 7---- 1 \ /--
\ ^"У + ^о/\ +j + *o> "V ' У + ^о
Если |х — |л0 <<^ у + |х0, это выражение весьма близко к
— (р. — р.0)3/2 (_/ — р.0) * / _ yj (/2 _ 2\
РМ” = * (27-4)
Та же самая формула относится к случаю |л < |л0. В квантовой теории Р(|х) имеет гауссово распределение около значения |х0, которое имела бы величина |л в классической теории. Результат не был бы таким простым, если бы мы рассматривали состояние 0R% с |л ф у, так как момент количества движения такого состояния может иметь, даже в классической теории, любое направление, составляющее угол 8 с осью Z', где cosO =рЦ. Лишь в случае |х = + у это направление единственно; тогда оно совпадает соответственно с Z' и —Z'.
Коэффициенты векторного сложения
Наиболее прямое физическое истолкование Зу-символов, или коэффициетов векторного сложения, следует из соотношения (24.20) или многочисленных эквивалентных ему соотношений. Согласно
418
Глава 27
(24.20), выражение
в/+,)(-У,А)“в/+1)
J Jl J2
— т х X
(27.Е.2)
есть вероятность того, что Z-компоненты векторов и j2 равны у. и X, если эти векторы складываются в J, причем направление j таково, что его Z-компонента равна т. Связь между j, jj и j2
Фиг. 14. Геометрическая интерпретация Зу-символа.
Моменты количества движения jx и складываясь, дают полный момент количества движения j с Z-компонентой т. Вероятность того, что Z-компоненты векторов Ji и /} равны соответственно х и Х = т—х, дается при этих условиях выражением (27.Е.2). Асимптотическое значение этой вероятности пропорционально полной длине дуги окружности, лежащей между плоскостями *=х и
Z-— Х+ 1.
становится более симметричной, если j заменить на — j, так что три вектора jv у2, j, складываясь, дают нуль. Сложение в классической теории показано на фиг. 14. Вектор j\ может быть направлен к любой точке окружности, а вектор j2 начинается из этой точки. Ясно, что если длины jv j2, j векторов jx, j2, j и проекции x, X и т. (где х-|~Х-)-т = 0) этих векторов'на ось Z заданы, то вся конфигурация векторов j\, j2, j определена с точностью до поворотов всей фигуры вокруг оси Z. Числа у1Р У2. У. *, X, m могут поэтому быть характеризованы геометрическими свойствами этой фигуры, инвариантными относительно вращений вокруг оси Z.
Дуги окружности как конечные точки вектора уj (см. фиг. 14), имеющие равную длину, равновероятны. Следовательно, если двигаться с постоянной скоростью по окружности, обходя ее всю за единицу времени, то время, которое будет затрачено на прохо-
Физическая интерпретация и классические пределы
419
ждение между плоскостями z = х и 2 = х -|- 1, даст вероятность значения х для проекции у\ на ось Z. В точке Р на плоскости 2"=* касательная к окружности направлена по [Д/2], а единичный вектор в этом направлении равен [JihVWJJiW- Проекцией этого вектора на направление оси Z будет ГУ1У21 ' ezl I [У1У2] 1> где ez— единичный вектор в направлении оси Z. Следовательно, если двигаться но окружности со скоростью V, то перемещение в направлении оси Z происходит со скоростью
а время, которое конец вектора проводит между плоскостями z = x и z = *-)— 1, является обратным этой величине, точнее, пропорциональным удвоенной обратной величине этого отношения, так как интервал (х, х —j— 1) по z проходится дважды при движении по окружности. Поскольку длина окружности равна 2тс|[у11/2]|/у, то и скорость v равна этой величине. Отсюда следует, что вероятность того, что Z-компонента y‘j лежит между х и х —|— 1, равна
Так как эта вероятность также дается выражением (27.Е.2), причем — m заменено на т, классическим аналогом квадрата ЗУ-символа является
Коэффициент у7(2У+ 1) мы заменили на 1/2. Как уже упоминалось выше, числа J, Jlf у2, m, х, X определяют векторы jx, j2, j (где j\ -\-j2 -\-j = 0) с точностью до вращения всей фигуры, образованной из этих векторов, вокруг оси Z. Однако правая часть равенства (27.6), очевидно, инвариантна относительно такого вращения. Она равна обратной величине произведения 4тс на площадь проекции треугольника, образованного векторами Jlf j2, J, на плоскость XV. Последний способ описания показывает также, что соотношение (27.6) инвариантно относительно перестановки векторов У1Р У2, J. Поскольку У1+У2+У = 0, это можно видеть также из (27.6),
Явное выражение для классического предела Зу-символа через входящие в него индексы имеет вид
2HM11 _ 21 [Л/2] I _J
(27.5)
\\m-ez\v \UM-ez I 2л | [/ц/2] I
(27.6)
(:
7 Л У2\*
