Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
Обращение времени
395
Поэтому числа с% образуют представление группы вращений (или двумерной унимодулярной унитарной группы преобразований и). Так как единственное одномерное представление группы чистых вращений или унитарной группы есть тождественное представление cR = 1, то
ОА>е=е>0/? или Ou0 = 0Ou (26.17)
для всех собственных вращений. Это соотношение может быть проверено также прямым вычислением; оно эквивалентно соотношению
(Я) sy = sy2)(1/!) (R)\ (26.17а)
Предыдущие рассуждения не исключают возможности того, что обе части соотношения (26.17) равны по абсолютной величине, но имеют противоположные знаки, если R является несобственным вращением. В соответствующем представлении (с/?) полной группы вращений (1) соответствует собственным вращениям, а (—1)—вращениям с определителем —1. Однако легко проверить, что соотношение (26.17) справедливо и для оператора О/ пространственной инверсии. Поэтому оно справедливо для всех рассмотренных ранее операций симметрии.
Естественно, что рассуждения этого раздела не доказывают, что уравнения квантовой механики инвариантны относительно обращения времени. Они показывают, однако, что если эта инвариантность действительно имеет место, то оператор обращения времени 0 = UK должен задаваться, с точностью до постоянного множителя, выражениями (26.14) или (26.15а) соответственно для простой теории или для теории, изложенной в гл. 20.
Преобразование собственных функций антиунитарными операторами
Симметрия по отношению к отражению времени не имеет далеко идущих следствий в теории атомных спектров. Она является гораздо более мощным средством при исследовании систем с более низкой симметрией, таких, например, как многоатомные молекулы или атомы в кристалле. Действительно, преобразование (26.15) было найдено впервые при исследовании вращения плоскости поляризации'), явления, которое проявляется в системах, не имеющих какой-либо плоскости симметрии. Однако важно
*) Н. A. Kramers, Koninkl. Ned. Akad. Wetenschap. Proc., 33, 959 (1930). Все значение обращения времени в классической теории было понято лишь недавно; см. Н. Z о с h е г, С. Т д г д k, Proc. Natl. Acad. Sci. (USA), 39, 681 (1953).
396
Глава 26
отметить, что теория представлений групп линейными преобразованиями не дает полной математической основы для рассмотрения группы симметрии, содержащей антиунитарныё операторы, и нам придется повторить некоторые из рассуждений гл. 11.
Как было указано ранее (наиболее явно при рассмотрении эффекта Штарка в гл. 23), группой, которую следует рассматривать для получения следствий из симметрии некоторой задачи, является не группа физических преобразований, а группа квантовомеханических операторов, соответствующих этим преобразованиям. Если число электронов нечетно, квантовомеханические операторы, которые соответствуют вращениям, изоморфны группе двумерных унитарных унимодулярных преобразований и и лишь гомоморфны группе вращений. Аналогичным образом, 02 соответствует в этом случае не u = 1, au = —1. Полная группа состоит из преобразований Ои И вОи, причем первые являются унитарными, а последние — антиунитарными. Правила умножения имеют вид
OvOu=Ovu> вех ¦ Ou=OQvui
(26.18)
Ov ¦ ®Ou^eOvu> eovec>u=o±vu.
Последние два соотношения следуют из (26.17), причем в последнем соотношении верхний знак относится к четному, а нижний — к нечетному числу электронов. Правила умножения (26.18) показывают, что унитарные операторы образуют подгруппу (фактически нормальную подгруппу с индексом 2) и что антиунитар-ные операторы образуют смежный класс этой подгруппы. То же самое справедливо для всех групп, содержащих как унитарные, так и антиунитарные операторы.
Пересмотрим теперь изложение гл. 11, начиная с п. 5. Соотношение (11.23) будет справедливо также и для антиунитарных операторов 0Ои. поскольку оно лишь выражает тот факт, что 60 ифх является собственной функцией, если таковой является
0Оиф% = 2 ?>(вОи)х%фх. (26.19)
Далее, остается в силе утверждение, что D(0Ou) будут унитарными, если ф* ортонормированы. Это является следствием того, что, в силу (26.8), соотношение
(0Оиф%, 60ифх) = (0ифх, Оиф%) = (фх, Ф%) = §х% (26.20)
выполняется так же, как и для унитарных операторов. Унитарность матриц D [соотношение (11.32)] была прямым следствием соответствующего соотношения для~ унитарных операторов.
Обращение времени
397
Произведение матриц D(0Ov) и D(Ou) или D(0Ou) уже не будет равно D(0OvOu) = D(0Ouv) или D(0Ov0Ou) = D(O±uv). В частности, если применить ©Ov к (26.19), то благодаря унитарности этой матрицы имеем
60v60u<k=2 e0vD(e0uX.«i»x = 2 =
=2?>(0Ou)Ld(6Ov)Hv
Xp.
так что
d (60v) d (ecu*=d (6oveOu)=d (o ±vu). (26.21a)
Аналогичным образом
