Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
(26.11) и (26.12) справедливы для всех операторов соответственно первого и второго классов.
Рассмотрим сначала простую теорию Шредингера, которая не учитывает спина. Если мы напишем 0 = UK, то из 0л; = л;0> где х—любая из координат, получим
UK*<p = U.fc<p* = JcUKtp = ^Utp*, (26.13)
так что U коммутирует с операцией умножения на любую из координат. Так как операторы импульса j-~Sx пРинадлежат ко второму классу операторов, из (26.12) имеем
UKf? = ->^ = -41uK? = -7Tr-- <2613а>
Мнимая единица I в выражении для оператора импульса компенсирует знак минус в (26.12) и U коммутирует с операцией диф-
Обращение времени
393
ференцирования по любой из координат. Отсюда можно заключить, что U должно быть просто умножением на постоянную с модулем 1. Поскольку эта постоянная может быть выбрана произвольно, положим ее равной 1; тогда для теории, не учитывающей спина, получим
0== К, 0ср = ср*. (26.14)
Это показывает, что волновые функции стационарных состояний могут быть выбраны вещественными, что в данном случае совершенно очевидно, поскольку гамильтониан является вещественным. Однако следует заметить, что соотношения (26.14) справедливы только в том случае, если операторы координат и импульсов
берутся в виде х и -j'g- (см- гл- 4). Если использовать „импульсные координаты" и подставить вместо обычных координат,
а умножение волновой функции на „импульсную” переменную р для импульсных координат, то 0 становится равным UK, где U не является единичным оператором, а производит подстановку — р вместо р:
U<p( — рх, —р2.......— pf) = <?(pv Р2. •••• Р/)- (26.14а)
Рассмотрим теперь теорию, учитывающую спин. Оператор U должен удовлетворять соотношениям (26.13) и (26.13а) также и в этом случае, но этих условий недостаточно для полного определения U; они показывают лишь, что U не действует на декартовы координаты, но тем не менее может действовать на спиновые координаты. В этом отношении он имеет свойства, противоположные свойствам бесспиновых операторов в гл. 20. Чтобы полностью определить 0 = UK, необходимо рассмотреть поведение спиновых переменных su, Sly, Su, .... S„_,., Sny, Snz при обращении времени. Спиновые переменные как моменты количества движения принадлежат ко второму классу операторов, так что они антикоммутируют с 0. Поскольку все s(* вещественны, для всех /=1, 2, ..., п имеем
©в/* = UKs(^ = Us^K.
Это выражение должно быть равно — вгл.0 =— S^UK, так что six антиком мутирует с U. То же самое имеет место для siz, которые тоже все вещественны. С другой стороны, мнимый оператор siy коммутирует с U- Следовательно,
Us^ = — suU, Us;y = s/yU, Usiz = — s,*U. (26.136)
Оператором, удовлетворяющим этим требованиям, является произведение всех мнимых спиновых операторов:
U — SlyS2y • • • S„y. (26.15)
394
Глава 26
Действительно, с точностью до множителей, U—единственный оператор, который удовлетворяет соотношениям (26.136). Предположим, что существует второе решение UiU этих уравнений. Тогда мы находим, что Ui должен коммутировать со всеми six, Siy, Siz и, следовательно, с
ClSlz “Ь C2S2* + ••• + cn$nz (26.Е.1)
при всех значениях с. Однако матрица, коммутирующая со всеми этими матрицами, является диагональной матрицей, так как при надлежащем выборе величин с никакие два диагональные элемента матрицы (26.Е.1) не равны. С другой стороны, ни один матричный элемент матрицы
(Sjy + 81г) (s2y + sto) ... (s„y + snz) (26.E.2)
не обращается в нуль, так что только постоянная матрица коммутирует как с (26.Е.1), так и с (26.Е. 2). Поскольку постоянная в 0 остается еще свободной, можно написать
0 = slys2y • • • s„yK (26.15а)
или
©Ф(*1. Ур *i. «1.......хЛ, гя, sn) =
= у,. zu —s1........xn, yn, zn, —zn)*.
(26.156)
Легко проверить, что 02=1, если n четно, и 02 = —1, если п нечетно. Существует другая форма оператора 0, которая получается, если заметить, что 2)('w({0, тс, 0\) = isy. Так как Q^0 %
заключается в применении 2)('/s)({0, тс, 0}) к каждой спиновой переменной, сравнение с (26 15а) показывает, что
© = (— 0"Q{o> 1С> о}К. (26.15в)
Выведем, наконец, соотношения между оператором обращения времени 0 и унитарными операторами Ор или Ои, которые соответствуют вращениям систем координат. Поскольку вращения и обращение времени коммутируют как физические операции, Од0 и ©Off могут отличаться только постоянным множителем Сд, который, однако, может зависеть от R. Следовательно,
b~l0Rb = cR0R или 0_1Ou0 = cuOu. (26.16)
Произведение двух таких соотношений, в силу OrOs=Qrs> Дает crCsOrs = © '0^06 '0^0 = 0 'Ои© = crsOrs-
(26.16а)
