Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
вщ, f m2+m, 0
(27.6a)
[¦A2 + T + j\m2m + Ятт\)] h
420
Г лава 27
где А2 — квадрат площади треугольника со сторонами у, jx, у2:
16А* = - Р - j\ - Д + 2у2у2 + 2у2у2 + 2у2у2. (27.66)
Как и ранее, можно указать классический аналог только квадрата квантовомеханической величины Зу'-символа. Эго естественно, потому что Зу'-символы являются амплитудами, которые, подобно <]>, не имеют непосредственного классического аналога. По этой причине следует ожидать, что (27.6) справедливо только при усреднении по одному из индексов по некоторой разумной области. Можно, однако, воспользоваться классическими понятиями для интерпретации как ф, так и коэффициентов векторного сложения; получаемые при этом выражения') воспроизводят также и знак этих величин. Эти полуклассические выражения применимы только при условии, что все квантовые числа велики, но они показывают, что коэффициенты 2) и Зу'-символы имеют осциллирующий характер в той области, в которой наши формулы законны в среднем. Из данной нами интерпретации Зу-символов можно было бы заключить, что эти величины обращаются в нуль, если тj принимает значение, лежащее либо ниже наинизшей точки окружности на фиг. 14, либо выше наивысшей точки этой окружности. Знаменатель выражения (27.6а) в этих случаях становится мнимым. Однако полуклассические выражения показывают, что Зу'-символы не обращаются в нуль при таких т^, они лишь экспоненциально убывают выше и ниже значений тг, соответствующих наинизшей и наивысшей точкам окружности на фиг. 14.
Если т = — у, вектор у на фиг. 14 становится антипарал-лельным оси Z, а * и X должны определяться при этом однозначно из классической теории. Обозначим их значения через х0 и Xq. Тогда
а квадрат высоты треугольника, перпендикулярной стороне у, равен
Эти два уравнения определяют х0 и Х0. В квантовой теории вероятность того, что проекции векторов y‘j и у2 принимают значения х и X, дается выражением (27.Е.2). Эта вероятность будет обозначена через Р(х, X). Входящий в (27.Е.2) Зу-символ при /я = — у
') См. A. R. Edmonds, Angular Momentum in Quantum Mechanics, Princeton, 1957, Sect. 2.7, App. 2; P. В r u s s a r d, J. H. T о 1 h о e k. Physica, 23, 955 (1957).
xo + \> — J’
(27.7)
(27.7a)
Физическая интерпретация и классические пределы
421
определяется выражениями (17.276) и (24.9а):
( J Л Л\
\~j * >¦ /
= (-1)2Л+Л~Ч+х, jШ'- Ui +h-J)i(Jx + •'-)! (Л + >)nVl
Ю+У. +Л-+1)! и -h+Л)!(У + У. -Л)! (У. -*)!(Л - *)П* ' Поэтому
Р(*. >0 = const ^ + + У}! , (27.9)
где постоянная не зависит от * и I
Дальнейшие вычисления упрощаются, если предположить, что классические значения величин х и X, т. е. х0 и являются целыми числами. Поскольку искомое выражение Р(х, X) будет интересовать нас только при больших значениях J, а также к и 1, это предположение не является существенным. Если % = х0-\-п, ^ = \ — п с положительным п, то мы имеем
Р(*Д) _ С/1+*0+1)(У1+«0+2)...(У1+*0 + Я) w Р (хо. ^о) (Л — ^o+l) U2 — ^о + 2) ... (j3 — Х0 -f- п)
S/ Ui — *o) Ui — *0 — 1) ¦ ¦ ¦ (Л — *0 — « + 1) (07 Qa\
(ji + M (Л + ^0-- 1) ¦ • • (ji + ^0-n + 1)
В силу (27.7a)
(Л + yo) (Л — yo)= (Л — \>) (Л + '‘o)-
Если разделить числитель и знаменатель выражения (27.9а) на п-ю степень последнего выражения и принять, что п мало по
сравнению с + х и у2 + X, то все множители в (27.9а) будут
лишь незначительно отличаться от 1. Поэтому (27.9а) может быть преобразовано с помощью формулы
(1 + Aj)(l + А2) ... (1 + *„) = «*«+й*+-+*я,
что дает, в силу (27.7) и (27.7а),
рьл) _ехр [-*°п7(^-*°)] = схр/ № \ ,97Qfi,
Р (*0’ Х°) -ехр[).0п2/(;2 —Х^)] \ Л —-'-о ) '
Та же формула применима и при отрицательных п.
Последнее выражение для вероятности отклонения х от его классического значения х0 на величину п имеет большое сходство с (27.4), т. е. с вероятностью отклонения |л от его классического значения ц0. Эта вероятность снова имеет наибольшее значение при х = х0 и является при больших квантовых числах у, j\, у2, х, X гауссовым распределением около Хр. Действительно, при
422
Глава 27
больших квантовых числах имеется большое сходство между Зу-символами и коэффициентами представления1). Это очевидно уже из фиг. 14, которая становится схемой, лежащей в основе интерпретации коэффициентов представлений, если устранить из нее вектор у2 и ТУ часть вектора у, которая лежит выше плоскости окружности.
Коэффициенты Рака
Физическая интерпретация бу'-символа наиболее ясно следует из разложения (24.22) волновой функции Хм, описывающей состояние, в котором полный момент частиц 1 и 2 равен J, по волновым функциям Ф^/> соответствующим состояниям, в которых полный момент частиц 1 и 3 равен j':
