Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
хй=2/27ТГ/27чг1(-1)2/,(‘/. V'.W. .(27.10)
Коэффициент c(jJM\ j'J'M') = bjj'bMM'CJ(у; j') выражен в (27.10) через бу-символ, согласно (24.23а). Отсюда следует, что выражение
(J h j'Y
(2/+1)(2/'+1){ J у| (27.Е.З)
дает вероятность того, что сумма моментов количества движения j\ и уз имеет длину у', причем моменты jx и у2 связаны в вектор у, имеющий длину у, а у3 связан с этим вектором, в результате чего получается момент количества движения с абсолютной величиной J. Фиг. 15 показывает связь между этими шестью векторами; они образуют тетраэдр (вообще говоря, неправильный).
Если длины векторов j\, у2, у, у3, J фиксированы, плоскость, проходящая через векторы ]х, у2, у, может еще быть повернута вокруг у. Точка Р на фиг. 15 описывает тогда окружность с центром в некоторой точке на у. Равные дуги этой окружности имеют равные вероятности. Вероятность заданного значения величины j' может быть вычислена с помощью метода, использованного при интерпретации Зу-символов. Единичным вектором, касательным к окружности в точке Р, является IJ\ hV\ 1ЛЛ11 • Вероятность для единичного интервала у' обратно пропорциональна проекции этого вектора на у'; иначе говоря, она пропорциональна выражению
11У.Уа] I
L/.y2] •fir ’
‘) См. цитированную на стр. 338 монографию Эдмондса,
Физическая интерпретация и классические пределы
423
Коэффициент пропорциональности при этом есть обратная величина половины длины окружности, т. е. величина, обратная к теiL/j/j] \Ц.
Фиг. 15. Геометрическая интерпретация коэффициентов Рака.
Моменты количества движения jx и j7, складываясь, дают суммарный момент j. Этот момент в свою очередь складывается с J3, приводя к полному моменту количества движения J. Вероятность того, что моменты J3 и у, складываются в суммарный момент с абсолютной величиной у, дается через коэффициенты Рака выражением (27.Е.З). Асимптотическое значение этой вероятности пропорционально длине дуги окружности, точки которой находятся на расстояниях от ]' до У +1 от конца вектора J,
Поэтому в пределе больших квантовых чисел j выражение (27.Е.З) принимает вид
/з
(2у+1) (2/+1)
{¦! Л/}* \Л Л J)
VxhVf *11/. ли
Заменяя у/(2у —1) и у'7(2у'4~1) на xk> получаем
'J Л У |2 . Л Уз У J
(27.11)
1
4* L/i/г] •/
(27.12)
Квадрат 6j-символа принимает асимптотическое значение, равное обратной величине произведения 24тт на объем тетраэдра, образованного векторами, входящими в Qj-символ. Приближение к асимптотическому значению имеет тот же характер, что и в случае Зу-символов; можно ожидать, что только среднее от левой части (27.12) по крайней мере по одному из j сходится к правой части.
Приложение А1)
ОБОЗНАЧЕНИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
В этом Приложении дается сводка обозначений и определений координат, вращений и фаз, которые были приняты в американском издании настоящей книги. Они совпадают с обозначениями, принятыми Роузом2), и имеют то преимущество, что позволяют сохранить обозначения волновых функций Кондона и Шортли3), коэффициентов представлений Вигнера (принятых также в немецком издании настоящей книги) (и наиболее широко используемые3-5)), определения коэффициентов векторного сложения, причей произведен переход от левой системы координат, первоначально использованной автором, к более широко используемой правой системе координат. Таким образом, сведена к минимуму возможность возникновения недоразумений, происходящих вследствие различия в обозначениях и определениях по сравнению с существующей литературой по физике, а также устранены недостатки левой системы координат.
Более полная сводка соотношений между фазами и обозначениями, используемыми различными авторами, для коэффициентов представлений, коэффициентов векторного сложения и бу'-симво-лов дана Эдмондсом5).
1. Координаты
Прямоугольные координаты, используемые в настоящей книге, таковы, что при (положительном) вращении положительного направления оси х в направлении (положительной) оси у правый винт двигался бы вдоль положительного направления оси z. Сфе-
¦) Это приложение было добавлено в издании 1959 г.
2) См. цитированную на стр. 215 монографию М. Роуза.
3) См. цитированную на стр. 186 монографию Е. Кондона и Г. Шортли.
4) См. цитированные на стр. 227 работы Рака.
в) См. цитированную на стр. 338 монографию Эдмондса.
Обозначения и определения 425
рические координаты (г, 0, ср) определяются соотношениями (см. фиг. 7 на стр. 185)
г = у х2 -)- у2 -)- г2.
z
