Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
D(u) = A(u). (26.32а)
В последнем случае можно принять, что D(u) имеет вид
/А (и) 0 \
D(u) = ( о Д(и)] ‘ <26-32б>
Матрицы, соответствующие унитарным операторам, определяются в обоих случаях. Чтобы определить D(a), мы должны более подробно рассмотреть представление А.
Применяя (26.32) к унитарному преобразованию а”’иа0, получаем
А (а0~2иа?)* = Г1д (а0-1 иа0) р. (26.33)
Комплексное сопряжение же этого равенства вместе с (26.32) дает
А (ац 2) A (u) А (аI) = A (a0_2uag) = А (и) ЭД*. (26.33а)
поскольку aj"2 и а^ входят в унитарную подгруппу. Отсюда следует, что матрица ЭДЗ*Д(а5~2) коммутирует со всеми матрицами А (и) неприводимого представления и является, следовательно, постоянной матрицей col; таким образом,
рр* = шД(а I). (26.34)
В силу унитарности всех матриц в (26.34), имеем [ со [ = 1. Покажем, далее, что w *= ± 1. С этой целью подставим и = а? в (26.33),
Обращение времени
405
что дает
А(а2)* = Г1А(а^>
(26.34а)
(26.346)
Таким образом, (о2=1, ш=± 1. Поэтому либо
РГ = А(а2), P = A(a2)f,
(26.35а)
либо
Г = -А(а2), р = -Д(а*)Рг.
(26.356)
Предшествующее рассмотрение имеет большое сходство с рассмотрением во втором разделе гл. 24. Оно указывает на различие между представлениями А, эквивалентными производному представлению А из (26.27а), весьма похожее на различие между потенциально-вещественными и псевдовещественными представлениями для тех представлений, которые эквивалентны комплексно-сопряженным к ним. Легко убедиться в том, что при заданном А те же самые возможности (26.35а) и (26.356) относятся независимо к выбору антиунитарного преобразования а0-
Вернемся теперь к задаче определения неприводимых копред-ставлений. Эту задачу можно упростить, если заметить, что всякое а может быть записано в виде произведения иа0 с фиксированным а0, но с переменным и. Согласно второму уравнению (26.21),
Подставляя иа0 вместо а в два другие уравнения (26.21) и заменяя все а произведением унитарного оператора на а0. приводим эти ¦уравнения к виду
представление унитарной подгруппы, то эт уравнения запишутся в виде
Первое из этих уравнений удовлетворяется, если соотношение
D(ua0) = D(u)D(a0).
(26.36)
D (uao)D Ы = D (ua0u,) = D (ua0u,ao Ъо). D (u,a0) D (u2a0)* = D (u1a0u2a0)= D (и^иас^а2).
Если сюда подставить (26.36) и предположить, что D(u) образует
D (u) D (а0) D (и,)* = D (иа,,^-1) D (а0) = D (и) D (а0и,ао!) D (а„).
(26.37)
D(и,) D (а0)D (и2)* D(а0)* = D (Ul) D (а^о-1) D (а20). (26.37а)
D Ы = D (ao)_1 D (aoUiao"1) D (а0)
406
Глава 26
имеет место для всякого и,. В этом выражении и, можно заменить на a^uag, после чего получим
D (a0_1ua0)* = D (а0)-1 D (u) D (а0). (26.38)
Если это уравнение удовлетворяется для всех и и если D(a) определено согласно (26.36), то третье уравнение (26.21) будет удовлетворяться. Предполагая теперь, что (26.38) выполняется, и вводя а^иао вместо и2 в (26.37а), это последнее уравнение можно заменить следующим:
D(a0)D(a0)* = D(a2). (26.38а)
Это уравнение представляет собой частный случай последнего уравнения (26.21). Однако предыдущий анализ показывает, что если D(a0) удовлетворяет уравнениям (26.38) и (26.38а) и если другие D(a) определены согласно (26.36), они будут удовлетворять всем уравнениям (26.21). Это позволяет значительно проще определить матрицы D(a), которые вместе с D(u), указанными в (26.32а) или (26.326), образуют решение системы (26.21). Задача сводится к решению уравнений (26.38) или (26.38а), в которые входит только D(a0)-
Рассмотрим прежде всего случай (26.32а), в котором D содержит А лишь один раз. Сравнение (26.32) с (26.38) показывает, что с точностью до несущественного множителя [см. замечание после (26.23) на стр. 339]
D(ao) = p. (26.39а)
Следовательно, уравнение (26.38а) будет удовлетворяться в том и только том случае, если к А относится возможность (26.35а), гак что соотношение (26.32а) может быть справедливо только в том случае, если для А имеют место соотношения (26.35а). Наоборот, те А, к которым применимо (26.35а), могут быть дополнены до копредставления полной группы с помощью (26.36):
D(a) = A(aa0-,)p. (26.40а)
Если D содержит А дважды, D(u) дается выражением (26.326). Оно может быть также записано как прямое произведение 1 ХА (и), т. е. как прямое произведение двумерной единичной матрицы и А (и). В этом случае частным решением уравнения (26.38) будет
°w=f, р)='хР-
(26.Е.З)
Обращение времени
407
Тогда наиболее общим решением уравнения (26.38) будет решение (26.Е.З), умноженное слева на матрицу