Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
что в этом разделе х лежит между 1 и I. Заметим, прежде всего, что функции <]/ ортогональны друг другу, так как они принадлежат различным строкам неприводимого представления Д. Следовательно, всякое линейное соотношение между <]/ и можно привести к виду
3*Ж=?1. *1 = 2 «Л. (26.30)
где tpj Ф 0. Тогда из (26.27) и свойства линейности и следует, что все utpj также являются линейными комбинациями функций <]/, причем это относится ко всем линейным комбинациям функций utpj. Представим все <]/ в виде линейных комбинаций функций utpj. Тогда они будут также линейными комбинациями функций откуда вытекает, что все <]/ являются линейными комбинациями функций если между ними имеет место одно соотношение вида (26.30).
Чтобы получить все <|/ как линейные комбинации функций utpj,
преобразуем А таким образом, чтобы функция tpj принадлежала первой строке. Это может быть достигнуто унитарным преобразованием, первым столбцом которого является а', а', ..., а'. Поэтому партнеры функции <ра могут быть получены как линейные комбинации функций и?! с помощью (12.3а). Отсюда функции <]/ могут быть найдены путем преобразования, обратного упомянутому выше унитарному преобразованию. Таким образом, лемма доказана.
Если <]/ являются линейными комбинациями функций то из проделанного выше вычисления, начиная с (26.24) и (26.29а), следует, что иф* и аф* также являются линейными комбинациями этих функций. В этом случае копредставление приводится к /-мерной и (/ — /)-мерной частям. Все DX|JL обращаются в нуль, если ^ <! I, X > /, причем то же справедливо и для |х > /, X ^ Последнее утверждение верно, так как все D(u) и D(a) унитарны. В результате D(u)+ = D(u-1) и, согласно (26.22), D(a)r = D(a_1). Поскольку Ь(и-1)х|! и Е>(а.~1)х^ имеют лишь нули в прямоугольнике Х>/, jj. /, матрицы Ь(и)Х|1 и ?>(аХ|! будут иметь только нули при |х > /, X /.
Если, с другой стороны, функции и <]/ линейно независимы, то можно выбрать ортогональный набор, первыми I членами которого являются дальнейшими I членами — линейные комбинации
Обращение времени
403
и <]/, а остальные — ортогональны как так и <]/. Это может быть достигнуто применением метода Грама.'—Шмидта к функциям
Фг Ф2- •••_. Фр Фр Ф2.....Vv Ь+v Ф/+2........Ф/• Функции и <]/
будут тогда линейными комбинациями первых 21 членов набора. Если и или а применяется к одному из первых 21 членов набора, то получающаяся при этом функция будет снова линейной комбинацией первых 21 членов. Это опять следует из вычисления, предшествующего данному обсуждению и приводящего к (26.24), (26.27), (26.29а) и (26.296). Следовательно, если D взято в том виде, какой был только что описан для ортогонального набора, то все ?>(и)хр. и ?>(а)хр. обращаются в нуль при lj^.21, |л > 21. Отсюда, как и раньше, вытекает, что D распадается на две части, одна из которых 2/-мерна, а другая — (/ — 2/)-мерна. Первая часть содержит только два неприводимых представления унитарной подгруппы А и А.
Приведение D может быть продолжено далее, если к (/ — /)-мерной или (/ — 2/)-мерной второй части применить тот же метод, какой применялся выше ко всему представлению D. В результате этого разложения каждая приведенная часть копредставления будет содержать либо одно неприводимое представление унитарной подгруппы, либо два таких представления, А (и) и Д(ц) = А (ад 'чадУ!
Нахождение неприводимых копредставлений
Неприводимые представления А и А унитарной подгруппы могут быть либо неэквивалентными, либо эквивалентными. Первый из этих двух возможных случаев проще; поэтому сначала мы рассмотрим этот случай.
1. Если А (и) и А^а^иао)* неэквивалентны, волновые функции и <]/ = а0фх ортогональны, так как они принадлежат различным представлениям унитарной подгруппы.. Следовательно, первыми 21 членами ортогонального набора, определенного в предыдущем разделе, будут сами функции и <]/, а матрицы D(u) и D(a) даются соотношениями (26.24), (26.27), (26.29а) и (26.296);
'А (и) О
О А(а0-'иа0)*
D(u)=| А А, (26.31)
О А (аа0)\
D(a)=U(a0-a)> О )• М
Разумеется, эти матрицы могут быть подвергнуты преобразованию подобия, В частности, если нужно заменить а0 другим элементом
404
Глава 26
группы ai. следует преобразовать с D с помощью
1 0
* \0 A(a0-4)V
Система матриц (26.31) и (26.31а) является, очевидно, неприводимой, если А (и) и Д(и) = Д^а^иа,,)* суть неэквивалентные неприводимые представления. Читатель может легко убедиться в том, что справедливость этого утверждения не зависит от выбора антиунитарного оператора а0. Заметим, что D(a) должно преобразовываться согласно (26.236).
2. В другом возможном случае представления А (и) и
A(u) = A(aj'1ua0)* = P_1 А(и)Р (26.32)
эквивалентны. При этом следует различать два случая: представление D может иметь столько же строк и столбцов, сколько и А, или оно может иметь вдвое больше строк и столбцов. В первом случае матрицы D(u) уже определены как
