Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
ек = и, е = ик. (26.7)
Это нормальный вид антиунитарных операторов. Из него следует, что 0 удовлетворяет соотношениям (26.4) и (26.5), а также соотношению
(0Ф, ©цг) = (иКФ, 1)КЧГ) = (КФ, ЮР),
так что (26.6а) справедливо для любого антиунитарного оператора: (0Ф, 0?) = (Ф, ?)* = (?, Ф). (26.8)
Заметим далее, что произведение двух антиунитарных операторов унитарно:
UjKu2K®==Ui ш2фт=ида
или
UjKUi-K = им*. (26.9)
Аналогичным образом произведение унитарного и антиунитарного операторов антиунитарно.
Оператор обращения времени имеет еще одно важное свойство: хотя 0Ф, вообще говоря, не совпадает с состоянием Ф, состояние 02Ф = 00Ф совпадает с состоянием Ф. Следовательно, 02Ф может отличаться от Ф только постоянным множителем. Покажем, что этот множитель равен либо +1, либо —1. Если записать о=ик, то
02 = UKUK = UU* = cl. (26.10)
В силу унитарности U, имеем UU+=1, так что (26.10) приводит К и* = cU+ ИЛИ U = cUr. Переход к транспонированным опера-
Обращение времени
391
торам в этом равенстве дает Ur=cU. так что U = cUr=c2U. Это снова дает с=±1, так что U может быть либо симметричным, либо антисимметричным и
02=±1. (26.10а)
Читатель без труда узнает здесь те же рассуждения, которые привели к (24.36). Позднее мы увидим, что верхний знак отвечает простой теории Шредингера и теории, учитывающей спин, если число электронов четно. Нижний знак относится к теории с учетом спина, когда число электронов или, в более общем случае, число частиц с полуцелым спином нечетно.
Соотношение (26.10а) выполняется не только для самого обращения времени, но и для произведения обращения времени на другую операцию симметрии. То, что последовательность двух обращений времени восстанавливает первоначальное состояние, является следствием инволюционного характера ') физического оператора обращения времени. Соотношение 02=с 1 и выражает это' свойство. Однако тот факт, что с может быть равным только + 1 или —1, является математическим следствием антиунитарности 0. Здесь положение совершенно иное, чем то, с которым мы имели дело в случае вращений. Если R — вращение на тс, то как физическая операция она инволюционна. Тем не менее О л может быть кратным единичной матрице с любым множителем модуля 1. Поскольку Оя содержат свободный множитель, этот оператор можно нормировать так, чтобы 0% = 1. Фактически нормировка, произведенная в гл. 20, дает 0/?= 1. если число электронов четно, и 0/? =—1, если оно нечетно. Это, однако, является следствием нормировки, тогда как соотношение (26.10а) выполняется автоматически. Действительно, замена 0 на со© с | со | = 1 (что вполне допустимо) не меняет 02 вовсе: (о0(о0 =
= U)U)*00 = 02.
Определение оператора обращения времени
С точки зрения обращения времени существуют два важных класса физических величин. Координаты, полная энергия и кинетическая энергия принадлежат к первому классу. Вероятность определенного значения X любой из этих величин одинакова для ср и для 0ср, независимо от того, каково ср. Эти величины либо не связаны со временем, либо содержат четную степень временнбй переменной, В результате обращение направления движения не оказывает никакого влияния на эти величины. Скорость, импульс,
') Инволюцией мы называем такую операцию, квадрат которой является тождественной операцией.
392
Глава 26
момент количества движения, а также проекции спина на заданное направление принадлежат ко второму классу операторов. Если какая-либо из этих величин имеет значение X в состоянии ср, то она имеет значение — X в состоянии вер. Эти величины содержат нечетную степень временнбй переменной. Разумеется, существуют физические величины, как, например, координата плюс скорость, которые не принадлежат ни к одному из этих классов. Нам, однако, не придется иметь дело с величинами подобного рода.
Операторы, соответствующие величинам первого класса, коммутируют с 0. Действительно, если q является таким оператором, а срх — состояние, в котором q имеет значение то q^x = Xx^x. Так как q имеет значение \ также и для 0фх, имеем также qOty* = Хх0фх. Следовательно, если ср—произвольная волновая функ-.ция <р = 2<гхфх> т0 в СИЛУ линейности q имеем
Oqcp— 0q 2 = 0 2 «АФ* = 2 0^*%, (26.11 а)
поскольку величины Хх вещественны. С другой стороны,
k q0? = q0 2 я А = q 2 = 2 «IqO'K = 2 • (26.11 б)
Отсюда следует, что если q — оператор первого класса, то
0q = q0. (26.11)
С другой стороны, если оператор р принадлежит ко второму
классу, те же аргументы приводят к тому, что
0р = — р© (26.12)
и 0 антикоммутирует с этими операторами. Предыдущее рассуждение является строгим только в том случае, если q и р имеют точечные спектры; однако можно показать, что соотношения
