Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
Следствия инвариантности относительно обращения времени
Рассмотрим сначала случай, когда имеется полная вращательная симметрия. Представляется естественным выбрать в качестве а0 сам оператор обращения времени 0. Все результаты, разумеется, не зависят от этого выбора. Из (26.17) и (26.32) следует, что в этом случае А = А* или, если воспользоваться в этом случае стандартным обозначением для представлений,
$(¦/) = $(¦/)*_ (26.42)
Матрицей {J, преобразующей к этому виду, является матрица С-1 = Cf из (24.3). Следовательно, {ф* = C-1Cf* = С-1СГ, и так как СТ = С при целых J, то {ф*=1. Как мы видели, в этом случае 02= 1, что соответствует либо простой теории Шредингера, не учитывающей спина, либо четному числу электронов. Поэтому справедливо соотношение (26.35а), и все копредставления относятся
¦) Это не противоречит „типам” в теории элементарных частиц. Они различаются группами операторов симметрии, выражающих одну и ту же физическую симметрию. Так, для частиц типов 1 и 2 6s = (—l)si, а для частиц типов 3 и 4 6s = — (—l)si, где s — спин частицы. Группа операторов имеет различные законы умножения для различных типов; каждый же набор законов умножения имеет лишь одно копредставление.
410
Глава 26
к первому типу. То же самое справедливо и для нечетного числа электронов. В этом случае J нечетно и ЭДЗ* = С-1СГ = — СС+ = — 1, так как при этом С = — Сг. Поскольку 02= —1, если число электронов нечетно, то все копредставления снова принадлежат к первому типу. В случае полной вращательной симметрии обращение времени не приводит к какому-либо дополнительному вырождению.
Однако соображения, связанные с обращением времени, приводят к существенным результатам относительно вещественности собственных функций. Так как в этом случае, согласно (26.39а) или (26.40а), D(а0)== D(0) = Р = С, в простой теории Шредингера можно написать
= (26.43)
Здесь матрица С была подставлена в форме (24.6). Следует учесть, что из (26.43) вытекает определенный выбор фазового множителя; такой выбор был сделан, когда мы в (26.39а) положили D(a) равным р, а не (о|31). В данном случае <]^ и являются комплексно-сопряженными друг другу, если I — |х четно; при нечетном I—|х комплексно-сопряженными будут —и В частности. фд вещественны при четных I и чисто мнимы при нечетных I. Тот же результат может быть получен для 0^ в волновых
функциях (19.18) атома гелия. Тогда из (19.19) и (19.19а) следует, что все О вещественны для четных состояний и чисто мнимы для нечетных. Разумеется, можно изменить все свойства вещественности, умножив все волновые функции, принадлежащие различным строкам некоторого представления, на общий множитель.
В теории, учитывающей спин, соотношение (26.43) заменяется следующим:
0«л,(.... xk, ук, zk, sk, .. .) =
= Г*-*—"'«ЧГм(---ук, гк, -s„, ...)* =
= 2 См'мФм' (• • • > хк’ У (г zk’ Sk,
М’
= хк, ук, гк, sk, ...). (26.43а)
В этом случае ЧГ^ и связаны с противоположными напра-
влениями спина. Так, в частности, если М = 0, волновая функ-___________ *
') Этот выбор фазы отличается от выбора, сделанного в явном выражении волновых функций в гл. 15, множителем il. Иногда сферические гармоники удобно определять так, чтобы они включали этот множитель. См., в частности, цитированную на стр. 352 работу Биденхарна, Блатта и Роуза.
Обращение времени
411
ция вещественна, если полный момент J и Z-компонента спинового момента оба четны или оба нечетны; волновая функция Ч'о— чисто мнима, если J четно, а Z-компонента спинового момента нечетна, или наоборот.
Предшествующие рассуждения соответствуют рассуждениям гл. 19 в той мере, в какой они дают информацию относительно волновых функций. Отсюда можно сделать ряд заключений относительно величины матричных элементов. С другой стороны, матричные элементы могут рассматриваться непосредственно. Это было сделано в гл. 21, где введено понятие о неприводимых тензорных операторах. Рассуждения, сходные с изложением в гл. 21, можно провести также с помощью антиунитарных операторов. Рассмотрим, в частности, симметричный (т. е. скалярный) оператор р, содержащий нечетную степень времени, т. е. такой, для которого справедливо (26.12). Таким оператором, например, является скалярное произведение координатного вектора и спинового (или орбитального) момента количества движения
^S^ + ySy+ или х\_х-\-у\_у-\-z\_z
для любой частицы, или скалярное произведение координаты и скорости и т. д. Среднее значение такого оператора равно нулю для любого стационарного состояния, кроме случая, когда отсутствует случайное вырождение. Действительно, в матричном элементе
(2 «Л р2«^) (26.Е.5)
смешанные члены с |х ф v обращаются в нуль, так как и рЧ-1/ принадлежат различным строкам некоторого представления. Кроме того, обращается в нуль и член с |x = v. В этом можно убедиться из (26.8) и (26.43а) следующим образом:
