Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Вигнер Е. -> "Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров" -> 164

Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.

Вигнер Е. Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров — Москва, 1961. — 444 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyagruppieeprilogeniekdrugim1961.pdf
Предыдущая << 1 .. 158 159 160 161 162 163 < 164 > 165 166 167 168 169 170 .. 176 >> Следующая


«. рО=(вр< еО = -(ре<, 0<) =

= -(-1)2/-2Г(р1^, = рЧГ^). (26.44)

Последнее равенство следует из того, что 2J—2|л всегда есть четное число и что р как оператор физической величины является эрмитовым. Согласно (26.44), (W^, pW^) имеют противоположные знаки для |х и — |л. Поскольку ЧГ и W_(JL являются партнерами, а р — симметричный оператор, эти два выражения должны быть равны. Поэтому они обращаются в нуль, так же как и выражение (26.Е.5). Имеется много подобных примеров, некоторые из которых приводят к определенным заключениям относительно вещественности или чистой мнимости матричных элементов. Так, например, если р удовлетворяет перечисленным выше условиям, но две волновые функции в матричном элементе

«. рФ|[) (26.Е.о)
412

Глава 26

не совпадают, то это скалярное произведение является чисто мнимым. При этом предполагается, что фазы функций и определены так, что копредставление имеет одинаковый вид для обеих из них и, в частности, что для обеих выполняется соотношение (26.43а). Если р есть Z-компонента векторного оператора, имеющего подобные свойства относительно обращения времени, выражение (26.Е.6) вещественно. Эти результаты могут быть получены на основе аргументов, вытекающих из (26.44), и могут быть обобщены соответствующим образом на неприводимые тензорные операторы произвольного ранга.

Рассмотрим теперь противоположный случай полного отсутствия пространственной симметрии. В этом случае унитарная подгруппа сводится к единичному элементу и Д = (1). Поэтому Д и А совпадают, а ? есть произвольное число с модулем 1. Таким образом, |ф* = (1). С другой стороны, 02 = 1, если число электронов четно, но 02 = —1, если оно нечетно. В результате копредставление (имеется только одно) относится к первому типу в первом случае, но ко второму типу, если число электронов нечетно и учитывается спин. В этом последнем случае все собственные значения двукратно вырождены: если выбрать |3 = (1), то две волновые функции ф^фг преобразуются при обращении времени согласно (26.406),

«4*1 = — Фг. вф2 = ф1- (26.45)

Это — теорема Крамерса о вырождении в ее первоначальном виде.

Факт наличия вырождения следует уже из того, что если 0 есть такой антиунитарный оператор, что 02 = —1, то ф ивф всегда ортогональны. Это следует из (26.8):

(ф, 0ф) = (00ф, 0ф) = (—ф, 0ф). (26.45а)

В случае четного числа электронов или, с другой стороны, для

простой теории Шредингера вырождения нет, и соотношение

0ф = ф (26.46)

справедливо для любого стационарного состояния, если фазовый множитель выбран надлежащим образом. Случай отсутствия пространственной симметрии, но при наличии инвариантности относительно обращения времени, важен для атомов в асимметричном электрическом поле, которое преобладает, в частности, в кристаллах низкой симметрии.

В качестве последнего примера рассмотрим случай однородного магнитного поля в направлении оси Z. Соответствующая унитарная
Обращение времени

413

подгруппа была определена в гл. 18; она состоит из всех вращений 0(к о-0} вокруг оси Z и произведений этих вращений на инверсию пространства О/. Интересным моментом является здесь то, что обращение времени, как таковое, при этом не является элементом симметрии; таким элементом является лишь произведение обращения времени на операцию, которая обращает направление магнитного поля. Это достигается вращением вокруг любой оси в плоскости XY на угол тс, а также отражением в любой плоскости, проходящей через ось Z. Произведение 0О{о п 0} обращения времени и вращения на угол тс вокруг К может быть выбрано в качестве а0- Поэтому, поскольку 0 и 0% коммутируют,

а0 О {а, 0, 0>а0= О (0, и, О}® О {а, О, 0}®О{0, it, о} =

= О{о, Ti 0>О{а, о, О} О {о, Х: о) = 0{«, О, О}'

Уравнение (26.32), определяющее р, принимает вид

Д({—а, 0, 0}Г = р-1Д{(а, 0, 0)} р, (26.47)

причем уравнение, в которое входит пространственная инверсия, выполняется автоматически. Так как А ({а, 0, 0]) = (е<ша), уравнение (26.47) снова дает р = ((о), и все копредставления относятся к первому типу. Как и следовало ожидать, все собственные значения являются простыми при наличии магнитного поля. Однако, если взять в качестве р единичную матрицу, равенство (26.39а) показывает, что

в°<о,«,оЛ = Ф1. (26'47а)

или, подставляя произведение (— г)" Q{0 к о)К из (26.15в) вместо 0 и р{0, *,o}Q{o, «,о> вместо O{0>1tj0},

(— 0" Q{o, ,, о>КР{о, - 0>Q{0, -с, 0>Ф|1 = V

Так как Р и Q^0 к Qy вещественны и так как квадрат последнего оператора равен (—1)", получаем соотношение

inP{o,*,o}K = % (26.476)

или

^(—*1. — *1. S1....— Хп< У„. S„)* =

= Фм.(ле1. У1 *i. «1...хп, у„, zn, sn), (26.47в)
Предыдущая << 1 .. 158 159 160 161 162 163 < 164 > 165 166 167 168 169 170 .. 176 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed