Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
D (0Ov) D (Ou)* = D (0OvO„) = D (0Ov„), (26.216)
так что матрицы D (Ou). D (0Ou) уже не образуют представления группы соответствующих операторов. Правила умножения, которые справедливы для представлений,
D (Ov) D (Ou) = D (OvOu) = D (Ovu), (26.21b)
D(Ov)D(0Ou) = D(OveOu) = D(0Ovu), (26.21r)
применимы только в том случае, если первый множитель соответствует унитарному оператору. В противном случае появляется матрица, комплексно-сопряженная со вторым D. Частным следствием этого является то, что
D ((ООиГ1) = (D (бОи)Т1 = D (60и )г- (26-22)
В частности, матрица D(0Ou) симметрична, если 0Ои—антиуни-тарная инволюция: (0OU)2= 1. Это имеет место также и для самого оператора обращения времени 0, если число электронов четно; это выполняется и для ©Ou при нечетном числе электронов, если и соответствует вращению на тс, так что u2 =—1. Если заменить ф новыми линейными комбинациями
Фр. = 2 «V^v, Ф* = 2 Рьфх
v X
с помощью преобразования а = |3-1, то матрицы D(Ou). которые соответствуют унитарному преобразованию Ou. заменяются, согласно (11.30), на
P(Oh) = «_1D(Ou)*- (26.23а)
398
Глава 26
С другой стороны,
0Оиф{ь--- eOu GtvtJ^v--GCv{b^Ou^v —
V V
= 2 2 <*v D =222 <4D (еол^'/х.
v x v x X
так что D(60u) заменяется на
D(60u)=«-1D(60u)«*. (26.236)
Это можно было бы получить уже из (26.21а) или (26.216), поскольку D удовлетворяет этим уравнениям лишь в том случае, если в преобразовании матриц, соответствующих антиунитарным преобразованиям, а заменить на а*.
Системы уравнений (26.21) и (26.23) показывают, что матрицы, которые преобразуют собственные функции при операциях группы, не образуют представления этой группы, если группа содержит антиунитарные операторы. Решение уравнений (26.21) не дается непосредственно теорией представлений, а должно быть найдено путем специального вычисления. В частности, невозможно исключить знак комплексного сопряжения в (26.21а) и (26.216) путем переопределения матриц D(0Ou). Разделяя вещественные и мнимые части — как в волновых функциях, так и в преобразованиях—можно было бы придать этим уравнениям более естественный вид. Однако с ними легче обращаться в том виде, в котором они даны здесь.
Система матриц D, удовлетворяющих уравнениям (26.21), не является представлением группы унитарных и антиунитарных операторов Ои и 60и в обычном смысле. Тем не менее таковы уравнения, возникающие из соображений инвариантности по отношению к операциям, связанным с обращением времени. Они будут называться копредставлениями, чтобы напоминать о знаке комплексного сопряжения в (26.21). Разумеется, понятие копред-ставления применимо только к группе операторов, когда некоторые из них антиунитарны.
Приведение копредставлений
Настоящий раздел представляет собой первый шаг в определении копредставлений, т. е. решений уравнений (26.21). Эта задача будет рассматриваться в этом и в следующем разделах как математическая задача. В частности, не будет предполагаться, что унитарные операторы Ои соответствуют вращениям, а также, что антиунитарные операторы содержат обращение времени. Чтобы упростить обозначения, обозначим унитарные операторы Он
I
1
Обращение времени
399
чбрез Uj, u2. u3...... Они образуют инвариантную подгруппу,
которая будет называться унитарной подгруппой. Неприводимые представления этой подгруппы будут предполагаться известными; типичное неприводимое представление, предполагаемое унитарным, будет обозначено через А (и). Антиунитарные операторы 00ц
будут обозначены кратко через а1( а2, а3...........Тогда четыре
уравнения (26.21) принимают вид
D(u1)D(u2) = D(u1u2). D(u)D(a) = D(ua),
D(a)D(u)* = D(au), D(a1)D(a2r = D(a1aa). ( }
Два решения уравнений (26.21) будут называться эквивалентными, если они могут быть преобразованы одно в другое с помощью унитарной матрицы я, так что
D(u) = a-1D(u)«, (26 23
D(a) = «-1D(a)«*, '
а решение уравнений (26.21) будет называться неприводимым, если оно не может быть сведено к приведенному виду с помощью преобразования (26.23). Матрица D(u) не меняется, если а = о)1 кратна единичной матрице; однако D(a) умножается на (о-1(о* = со**. Следовательно, два решения уравнений (26.21) наверняка эквивалентны, если их D(u) совпадают, a D(a) отличаются общим численным множителем. Фиксируя общий фазовый множитель матриц D(a), мы фиксируем фазовый множитель волновых функций, которые преобразуются с помощью D(a); общий фазовый множитель всех волновых функций, принадлежащих различным строкам представления, остается свободным, пока рассматриваются унитарные операции симметрии. Дальнейшие вычисления могут быть сделаны более прозрачными, если предположить, что существуют
