Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
волновые функции ф^ ф2, ф3........fy, которые преобразуются под
действием соответствующих операторов и и а согласно соотношениям
/
иф* = 2^(и)ххФх.
} (26.19а)
афх = 2^(а)ххфх-
1
В физической задаче наиболее интересны именно эти волновые функции. Если интересоваться чисто математической задачей решения уравнений (26.21), то волновые функции фх можно заменить векторами в „пространстве представления". Это пространство представления имеет / измерений, где /—число строк и столбцов Матриц D. Можно считать, что матрицы D действуют на векторы
400 Г лава 26 j
в этом пространстве представления, причем D(u) и D(a) преобразуют х-й единичный вектор в векторы с X компонентами D(u)*x и D(a)*x соответственно. Таким образом, можно предположить, что единичные векторы в пространстве представления играют роль волновых функций ф. Однако следует ожидать, что использование понятия волновых функций сделает последующий анализ менее абстрактным, чем анализ, использующий пространство представления.
Матрицы D(u), которые соответствуют унитарным преобразованиям, образуют представление унитарной подгруппы. Предположим, что D(u) как представление унитарной подгруппы полностью приведено и что размерность I его первой неприводимой части А (и) не превышает размерности любой другой неприводимой части представления D(u). Это может быть сделано путем выбора соответствующих линейных комбинаций волновых функций (использования надлежащей системы координат в пространстве представления). Следовательно, мы имеем
i
иф* = 2д (и)х%Фх при *</. (26.24)
1
Заметим, что А определено только для унитарных операторов,
а А (а), например, не имеет смысла. Однако, поскольку aja2 и а-1иа входят в унитарную подгруппу, выражения вида A(aja2) или А(а_1иа) вполне определены.
Рассмотрим, далее, I волновых функций
/
<]/ = а0фх = 2 D (а0)х*фх (*<[)¦ (26.25)
Суммирование в правой части должно производиться по всем волновым функциям, поскольку мы не делали никаких предположений относительно D(a). Оператор а0 в (26.25) является произвольным фиксированным антиунитарным оператором. Покажем,
что <]/ принадлежат некоторому неприводимому представлению унитарной подгруппы. Рассмотрим
иф' = и 2 ^(аоХхФх = 2 2 ?> (а0)х* D (и) х Ф,, =
X X ц ^ ^
= 2[О(и)О(а0)]|и.Ф|1- (26-26)
и*
Однако, согласно (26.21),
D (и) D (а0) = D (иа0) = D (а0) D (а0~ ^а,,)*. (26.26а)
так что
иФ: = 2Д (а0 \XD (а0"1 иа0)*^ = 2^ (а0~1 иа0)*^ф'. (26.266)
Обращение времени
401
Заметим, что мы использовали только соотношения (26.21), но не законы умножения операторов и и а.
Поскольку a^uag входит в унитарную подгруппу при х^/, мы имеем
D(ao_1ua0)Xx= Д(а0"1иа0\х при Х</
D (ао’1иа0)ь = 0 при Х>/.
Таким образом,
(х</)’ (26'27)
и функции ф', являющиеся линейными комбинациями функций ф, принадлежат /-мерному представлению
A(u) = A(a0"1ua0)*. (26.27а)
То, что эти матрицы образуют представления унитарной подгруппы, следует из (26.27). Это также следует из того факта, что А является таким представлением и что a^uag унитарно. Кроме
того, представление А должно быть неприводимым, так как оно
содержится в D(u) и так как это последнее не содержит пред-
ставлений более низкой размерности, чем I.
Ниже мы обсудим связь между представлениями А и А. Но сначала покажем, что волновые функции
аф* = 2 ?> (а)р.х фц, (26.28а)
аф: = 2 aD (а0),.А = 2 2 D (а0)^ (а)Д, (26.286)
при 'х^/ могут быть выражены линейно через фх, ф', где снова х^Л Поскольку D(а)= D(а0)D^a^a)*, (26.28а) можно записать просто в виде
аф, = 2 D (а),, Ф, = 22Я (a0),D(a0-1a)’i ф, =
I
= 2!Д(а0-1а);>ф; (*<0. (26.29а)
Последний шаг следует из того, что а^*а входит в унитарную подгруппу и х</, так что а^'а) ^Д^а^'а) при v.^/,
а в противном случае обращается в нуль. Аналогичным образом из D (a) D (а0)* = D (аа0) следует, что при х^ / (26.286) принимает вид
И** = 2 D (аао)^ = ^ Д (аа0)^ фр. (26.296)
402
Глава 26
Теперь докажем следующую лемму: Функции ф' = а0фх (при ¦*¦^.1) либо могут быть выражены линейно через ф2, ..фг, либо все линейно независимы от них и друг от друга.- В процессе доказательства этой леммы мы часто будем иметь дело с функциями и <|/ = а0фх при Поэтому удобно условиться,
