Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
Это равенство должно быть тождеством по т, т', о. В самом деле, ясно, что участвующим здесь тождеством является (24.246), и после приведения знаков находим
Tjr=(-lf-L+S+r+p /27+1/27+1 Tsl,sl'.
(24.30)
Эта общая формула применима в случае связи Рессела — Саундерса и дает отношения матричных элементов между всеми состояниями двух мультиплетов для оператора, который является неприводимым тензором ранга р относительно обычных координат, но инвариантен при вращениях спинов. При р= 1 она содержит формулы Хёнля — Кронига. Аналогичное соотношение с заменой ролей L к S применимо к оператору, который инвариантен относительно вращений обычных координат, но преобразуется как неприводимый тензор ранга q при вращениях спиновых координат.
Коэффициенты Ракй
363
Взаимодействие между спином и внешним магнитным полем является таким оператором (с q = 1), а множитель в формуле Ланде (23.24) является, в сущности, коэффициентом Ракй, или бу'-символом. Мы не будем дальше рассматривать этот вопрос, так как наиболее важные результаты уже были получены в предыдущей главе путем прямых вычислений.
Общие двусторонние тензорные операторы
Свойства бу'-символов представляют значительный принципиальный интерес. Практическая их польза зависит от числа конкретных задач, которые они упрощают, от значения этих задач и от простоты пользования этими символами. Таблицы бу'-символов, очевидно, более громоздки, чем большинство математических таблиц, поскольку они зависят от шести переменных. В этом отношении они более сложны, чем даже коэффициенты векторного сложения, которые зависят по существу только от пяти переменных. Задача настоящего раздела приводит к понятиям, которые часто называют 9у'-символами и которые зависят от девяти переменных, причем предшествующие замечания относятся к ним в еще большей ст( пени *).
Рассмотрим теперь двусторонний тензорный оператор Т?р или, вернее, как уже указано в (24.1), неприводимый тензор2)
Tl = {*, <7Р, р.)Т?. (24.31)
который преобразуется согласно (24.1а) при одновременных вращениях спиновых и обычных координат. Предположив связь Рессела — Саундерса, выразим и через соответствующие S с помощью (24.156) и, пользуясь сокращенными обозначениями, получаем
«, тХ') = /27+Т/2/ЧЛX
X(JmS'L,)(^q.p)(jmlS''L'-){sil, Г;РЪ3:1'). (24.32)
Поскольку мы не определили контравариантных компонент волновых функций, все их индексы являются нижними. Последний матричный элемент может быть записан в виде
(Е“ Т?Е, v’) = (s\ qp. &) (е, р, V) 7м, (24.32а)
’) См. К. Smith, J. W. Stevenson, Argonne National Laboratory Report 5776.
2) Заметим, что оператор (24.31) отличается от оператора (24.1) мно-
жителем (—1)?-р-“ У^2(о + 1. который входит в (24.16).
364
Глава 24
что аналогично (24.27а) или (24.29). Напишем также
«. JM) = СЛ «°\ Jm') Tjj'. (24.326)
Это соотношение по-прежнему справедливо, так как оно опирается только на предположение, что У и У' являются хорошими квантовыми числами. Мы хотим снова выразить Tjj< через Tsl,s'l', а также показать, что правые части (24.32) и (24.326) одинаковым образом зависят от т., т' и т. Чтобы получить „релятивистски инвариантный" вид соотношения, отождествляющего (24.32) с (24.326), следует изменить положение всех индексов первого Зу’-символа в (24.32). Это всегда следует делать по отношению к символам, происходящим от первого множителя скалярного произведения;
2 J
в данном случае это вводит множитель (—1) . Мы получаем
(У, (о, J')Tjr =(-lfyUTiV2r+~HJS.L.)(«>q.P.)X
X (J'S’-L'-) (.S-q'S') (iUpL[) Tsl, s’L'. (24.33)
Отношение суммы произведений пяти Зу-символов в правой части к Зу’-символу в левой части есть в сущности 9у’-символ:
J S L\
(о q р\. (24.Е.5)
У S' V J
9у-символ не обращается в нуль только в том случае, когда векторы каждой строки и каждого столбца образуют векторные треугольники. Мы не будем подробно обсуждать определение и свойства 9у-символов. Покажем лишь, как выражение в правой
части (24.33) может быть сведено с помощью бу-символов к одному Зу’-символу. Тот -же прием может применяться ко всем выражениям, которые могут приводить к инвариантным соотношениям с отдельными Зу’-символами.
Произведение первого и последнего Зу-символов в правой
части (24.33) имеет вид произведения, входящего в (24.24а), за исключением циклической перестановки у, которая может быть компенсирована с помощью (24.10а). Поэтому
(pL'L')(JSL.) = (— 1 fJ(2у + 1)j^ f, ^(pSmJL'j). (24.34)
Мы замечаем, что второй 37-символ в правой части (24.33) содержит р, четвертый содержит 5 и оба они содержат q. Следова-
Коэффициенты Ракй jA________-_________
