Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
информации.
Равенство (24.23) содержит искомое соотношение. Придадим ему теперь различные формы, а также запишем его в более симметричном виде. С этой целью заменим сначала в обеих частях контравариантные индексы х, ц ковариантными индексами и произведем циклическую перестановку в обеих частях во втором Зу'-символе. Заменим также различные виды у другими символами и получим
') Фактически коэффициент W Рака не равен в точности 6/-символу; они связаны соотношением
W U Mill, Ш = (-14^ js 1.
VM *2 h)
356
Глава 24
В это соотношение входят четыре Зу'-символа и соответственно имеются четыре тройки чисел у и I, которые должны образовывать векторные треугольники. Три члена каждой тройки (например, /,у‘2/) входят в различные столбцы бу'-символов и либо все три находятся в верхней строке, либо два из них стоят в нижней строке, а третий — в верхней. Наоборот, бу'-символы были определены только для тех случаев, когда эти четыре тройки (т. е. У1У2У, kkJ) образуют векторные треугольники. Все осталь-
ные бу-символы мы положим теперь равными нулю. Было бы довольно трудно запомнить положение каждого*у и I в бу'-символе в (24.24), но мы сразу же покажем, что все те бу'-символы, которые составлены из одних и тех же у и в которых одни и те же тройки должны образовывать векторные треугольники, равны. В результате (если отвлечься от знака) оказывается довольно легко запомнить соотношение (24.24), которое ясно показывает переход от связи J\ с у2 (и /j с /2) к связи у\ с /2 и /j с у2. Все эти числа могут быть целыми или полуцелыми.
Введем теперь сокращенное обозначение, упомянутое в конце предыдущего раздела. Оно заключается, в сущности, в опускании всех индексов строк. Свободные индексы строк одинаковы в обеих частях и могут иметь любое значение, поэтому их можно не выписывать. Далее, нет необходимости указывать, являются ли они ковариантными или контравариантными, если только запомнить, что они имеют одну и ту же природу в обеих частях. Индексы, по которым производится свертка, можно также не выписывать, так как по ним в любом случае производится суммирование. Однако в этом случае необходимо указать, какие индексы являются ковариантными, а какие — контравариантными; это будет делаться с помощью точки сверху или снизу. При перестановке двух точек у двух у, по индексам которых произведено суммирование, возникает множитель (—1)2J, так как
Jltf = ciJjCfgl=(—1)'+,7Г (—1);" V-.=(-1 f'fhl-
Следовательно, соотношение (24.24) в сокращенных обозначениях имеет вид
Ш/К W=(-1)2i,S(^+ *>{ Jt[ i* zy}(AV')(W>.
1 (24.24a)
Если изменить положение точек в левой части равенства, возникает 2/ 21 +2У
множитель (—1) =(—1) 1 ; при изменении их положения
в правой части возникает множитель (—1)2-/ = (—
Коэффициенты Ракй
357
Соотношения ортогональности (24.19) в сокращенных обозначениях принимают вид
= /•). (24.25)
где символ 8 (У., _/"•) равен нулю, если j Ф j' или если соответствующие индексы не равны, и равен 1, если j = j' и соответствующие индексы равны и стоят на, тех местах в левой части равенства, которые указаны точками в правой части. Следовательно,
8(У., /') = (-1 f 8 (/, /)¦ (24.25а)
Разумеется, не всегда можно пользоваться сокращенными обозначениями; в частности, ими нельзя пользоваться в случае, когда одно и то же у входит дважды в одну и ту же часть соотношения, причем по индексу соответствующей проекции суммирование не производится. В этом случае одно и то же j встречается дважды и в другой части равенства, так что в вопросе о том, какой из индексов должен быть отождествлен с У, возникает неоднозначность. По этой причине сокращенными обозначениями нельзя пользоваться в релятивистских расчетах (там все индексы относятся к одному и тому же пространству). В настоящем же случае использование сокращенных обозначений делает многие вычисления более прозрачными.
Ввиду наличия суммирования по j в правой части (24.24) оно не дает явного выражения бу-с^мвола. Такое выражение может быть получено, если умножить (24.24а) на (V2/3) и свернуть по индексам моментов 1Х и /2:
(Л ^2/) (Л V3)= . . .
Точки у Л в левой части можно поменять местами; при этом
о/
исчезнет множитель (—1) 1 в правой части. Последние два множителя справа сокращаются после суммирования с 2у —1 в силу (24.25); У следует заменить на У3, а его индекс, где он свободен, будет иметь то же самое положение, что и индекс момента У3. Следовательно,
(Л«Ж,ЛЛЛ)={'‘ ? /33}(ЛЛЛ)- (24.246)
Это, по-видимому, наиболее важное соотношение, содержащее коэффициенты Ракй; мы воспользуемся им в следующем разделе при вычислении матричных элементов неприводимых тензорных операторов. Оно показывает, что вследствие циклической симметрии Зу-символов столбцы бу-символа можно подвергать циклической перестановке. Аналогичным образом перестановка у\ с у2 и 1Х с
