Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
Запишем, наконец, полностью контравариантную форму Зу-сим-вола:
(Jm, 5\ Lll) = C7m'ctcT'-(Jm’, 5V', V) =
+ ' (24Л8) Множитель (—может быть опущен, так как Зу-символы не обращаются в нуль только при т -f- v -f- р, = 0. Поэтому (24.106) дает
(Л 5\ L») = (J„. 5VI LJ; (24.18а)
полностью ковариантные и полностью контравариантные Зу-символы равны. Эта теорема зависит от вида представлений, принятого в гл. 15. Однако она позволяет нам записать (24.11) в ковариантном виде. С этой целью прежде всего заметим, что хотя индексы коэффициентов представления записаны как нижние индексы, в действительности первый индекс является контрава-риантным индексом. Это очевидно уже из основной формулы
оХ=22)(л(Я)т,Х.
т
Коэффициенты РакА
351
Суммирование по т' показывает, что этот индекс следовало бы писать как верхний. Поэтому представляется естественным вместо
(24.11) писать
/ а™ (/?)„„, а1" (Л)„Л ©“ dR:
=а( ; .* ;)[ i[ 11 1ъ )• (24.186)
Л h JsJ\mi т2 т:
Вычислим ковариантно-контравариантные компоненты представления ®(У)(Я)лт:
с^,сутт'г)(Л(/г)л,т, = (с2/лс7"’1)”, (24.i8B)
так как контравариантный метрический тензор является обратным по отношению к ковариантному метрическому тензору. Так как СТ = (—1)УС и так как С-1 преобразует ф в ф*, находим, что ковариантно-контравариантная пт-компонента представления 1t№\R) отличается множителем (—1 от комплексно-сопряженной
контравариантно-ковариантной компоненты %№\R) [т. е. обычной 3)(;) (/?)„„]. Для первоначального вида интеграла от трех коэффициентов представлений это дает
/ «)„,., Е"' «С, 4R =
= ,-!>«» ("¦ Л (24. ,8г)
\Л J2 п/\т1 т2 J I
Разумеется, (24.18г) могло бы быть получено и непосредственно.
Теорема о равенстве полностью ковариантных и полностью контравариантных компонент Зу-символа позволяет записать соотношения ортогональности (17.28) в инвариантном виде:
Л J\fm I Щ т'\
% -)(л А = (2419)
При т = т' это соотношение эквивалентно первому из соотношений (17.28); при т ф т' каждый член суммы обращается в нуль, так как не может быть равным как —т, так и —т'.
Другое соотношение ортогональности приобретает вид, не зависящий от вида представления:
J 4..M m2 mj\jl j2 j J 2y+l
(24.19a)
Здесь подразумевается суммирование по т. в силу сокращенного обозначения суммирования. Ковариантные обозначения используются
352
Глава 24
не только и, может быть, не столько потому, что они приводят к соотношениям, которые не .меняются, когда представления подвергаются преобразованиям подобия. Их главная задача состоит в том, чтобы облегчить запоминание этих соотношений. Из них следуют также весьма сжатые обозначения, которые будут введены в следующем разделе.
Коэффициенты Рак &
Предыдущие расчеты указывают более симметричный вид коэффициентов векторного сложения, но не дают еще соотношений, которые позволили бы без труда и с наименьшими вычислениями получить формулы последней главы. Как уже упоминалось в первом разделе настоящей главы, между коэффициентами векторного сложения должно существовать некоторое общее соотношение, которое при полном его использовании может сделать совершенно прозрачными выводы формул Хёнля—Кронига, правила интервалов Ланде и других аналогичных выражений. Имеется много способов вывести искомые формулы; некоторые формулы уже следуют из расчетов последней главы.
Рассмотрение трех частиц, движущихся в сферически симметричном поле, приводит к вышеупомянутым соотношениям наиболее естественным путем '). Первая частица имеет значение энергии, которому принадлежат волновые функции при х = — ju
— ./’i + l...J j — 1, j\', функции являются партнерами и
принадлежат представлению Волновыми функциями, соответ-
ствующими энергии второй частицы, являются срх; эти функции
принадлежат представлению Соответствующими величинами
для третьей частицы являются ^ и Волновая функция всей
системы является линейной комбинацией функций
Ф«(1)«Рх(2)Хи-(3). (24-Е-4>
где цифрами 1, 2, 3 обозначены координаты трех частиц. Поскольку функции фх(1) всегда будут зависеть от координат первой частицы, в дальнейшем ее аргумент будет опускаться. Подобным образом вместо <рх(2) и Хц.(3) будем писать срх и ^ . Рассматриваемая ситуация является крайне схематичной и не описывает какой-либо реальной физической системы. Однако связанные с ней соображения полезны для получения искомых соотношений.
') См. цитированные выше работы Рака (стр. 227) и монографию Эдмондса (стр. 338), гл. 6; см. также L. С. В i е d е n h а г n, J. М. В 1 a 11, М. Е. Rose, Rev. Mod. Phys., 24, 249 (1952).
