Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
сумма вообще не действует на спиновые координаты. (Ранее мы вывели интеркомбинационный запрет из того факта, что собственные функции различных мультиплетных чисел принадлежат различным представлениям группы перестановок Рр декартовых координат.) Мы не-пользовались методом Слетера в таком виде, поскольку нас интересуют все свойства симметрии, и, когда возможно, мы используем их полностью.
Хотя должны существовать случаи, в которых можно получить больше сведений о системе из рассмотрения перестановок Рр декартовых координат, чем из учета одних только Q^f удивительно, насколько полные результаты, вытекающие более прямо нз инвариантности относительно группы Рр> дает группа оператора Q^.
Существенным условием применимости метода Слетера является то, чтобы внутренние координаты рассматриваемых частнц могли принимать только два значения. Если бы имели дело с частицами, имеющими три возможные ориентации (спиновый момент равен й, а не Л/2, как, например, в случае ядра азота), то вместо в соотношении, определяющем операторы Qp [соотношение (21.66)], появилось бы Это
оказало бы очень малое влияние на рассуждения в настоящей главе. Однако заключения, которые можно было бы вывести в такой теории из инвариантности относительно вращений (относительно Qp), были более ограниченными, чем следствия инвариантности по отношению к Pp. Действительно, в этом случае несколько уровней, определяемых уравнением Шредингера, совпадают, и это совпадение не могло бы быть объяснено из рассмотрения одних только Qp. Тогда необходимо было бы либо ввести другие операторы, нарушая тем самым простоту теории, или использовать симметрию относительно операторов Рр, как это было сделано в первом выводе принципа построения '). В этом заключается причина того, что мы рассматривали в этой книге перестановки декартовых координат частиц н представления симметрической группы, и того, почему была явно показана эквивалентность Qp с Рр для электронов.
5. Основное различие между сферически симметричным случаем и асимметричным заключается в том, что в сферически сим-
N
метричном случае собственные значения Ei k операторов Hft, рассматриваемых только как функции от хк, ук, гк, не являются
>) См. Е. Wig пег, Zs. f. Phys., 43, 624 (1927), § 21—25; М. Del-b г Q с k, Zs. f. Phys., 51, 181 (1928). Фактически уровни, возникающие из некоторой конфигурации, быстрее могут быть определены с помощью методов, изложенных в указанных статьях, чем методом, изложенным в настоящей книге. Однако изложенный здесь метод (принадлежащий Слетеру) является более наглядным и легче запоминается.
378
Глава 25
простыми, a (2/ft + 1)-кратно вырожденными [), и что мы должны определить не только мультиплетное число, но также и квантовое число орбитального момента количества движения уровней, отвечающих полному гамильтониану. Невозмущенные уровни определяются указанием главного и орбитального квантовых чисел орбитальных состояний
Чтобы получить все конфигурации невозмущенных уровней (25.Е.4), мы должны для [а и о в символе конфигурации
W2p2o2) ¦ • ¦ (Nп1п?‘пап) = Ф\а\)Ф2°2) • • ¦ Фпап) (25.E.2)
взять все возможные значения (| | < /*, ak = ± 1). В (25.Е.2) мы
можем ограничить значения Nk, lk и условиями (25.7) и, поскольку мы хотим работать только с разрешенными конфигурациями, (25.7а) можно заменить на
°i < °(+1 ПРИ Nt = Nl+l, ll=li+v !A/=!A/+i. (25.76)
Для каждой разрешенной конфигурации существует одна антисимметричная собственная функция (25.8а).
Если применить операции Q/?P^' к этим антисимметричным линейным комбинациям собственных функций (25.Е.4) и выразить получающиеся при этом функции через исходные функции,
то матрицы A(R, R') будут образовывать представление прямого произведения групп операторов и Рр>. Если неприводимое
представление X(S>(R) X ?>(A>(R') содержится в A (R, R') ASl раз, то число уровней с мультиплетным числом 5 и орбитальным квантовым числом L, которые возникли из уровня (25.Е.4) благодаря возмущению W, будет равно Л$?. Соответствующие линейные комбинации функций у снова образуют первое приближение функций для вычисления величин, которые в гл. 22 были обозначены
I-SL
через avll.
Чтобы определить числа Asl, снова достаточно — как это будет показано — найти матрицы A(R, R'), в которых R и R' являются
') Если бы Hft действительно имели вид, указанный в (25.1), то все
собственные значения E(Nk, /*) (/* = 0, 1, 2........Nk — 1) с одним и
тем же Nk совпадали. Однако мы предположили, что кулоновское поле достаточно изменено экранированием, чтобы вырождение всех собственных значений было снято, т. е. собственные значения были расщеплены.
(25.Е.4)
2
Принцип построения
379
вращениями вокруг оси Z. Если R — вращение на угол а вокруг Z, то мы имеем
^{«оо}Хлг,/.|1л ••• ¦'Vn'Vn^*2 ( Хлу.р.,,,... wn/np.n,n-С25-1 *)
