Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
{У. h is)2 _
I h h h I
= ^ 3 J* J* J* Xi (^i) Ъ (Кг) Хз (Я.) Xi (^2^3 ') Х2 (*3*1 ') X
X Хз(^1^2 ') ^^2 dRa.
где х/ — характер представления
а хг — характер представления
Мы не будем приводить здесь подробного вывода этой формулы. Кроме упомянутых выше, бу-символы удовлетворяют большому числу других соотношений. В частности, можно показать, что матрица
ортогональна. Вследствие того, что столбцы 6/-снмволов могут быть переставлены, каждый такой символ является элементом трех вещественных ортогональных матриц, если отвлечься от множителей, аналогичных
(21 + 1)'/а (2j + 1)'А.
бу'-снмволы могут быть определены для довольно большого класса групп. В связи с этим возникает вопрос о том, определяют ли их значения группу. Этот вопрос до настоящего времени еще не решен.
Матричные элементы бесспиновых тензорных операторов
Формулу (21.19) для матричных элементов тензорного оператора можно было бы переписать с помощью Зу-символов; однако проще вывести ее заново. Так как рассматриваемый оператор является скаляром по отношению к вращениям спиновых координат, его ранг ш по отношению к вращениям всех координат равен его рангу р по отношению к вращениям обычных координат. Мы опустим все квантовые числа N, N' и т. д., которые не существенны в настоящий момент, и напишем
ГЧ&) = (0*Ч&, О^ГОяО^т’)- (24.27) Обе части этого соотношения равны, так как оператор Or является унитарным. Поскольку и принадлежат пред-
Коэффициенты Ракй
361
ставлениям 4?f-J } и а Т” является тензорным оператором по-
рядка р [см. (21.166)],
(чй. г<0 = 2 2 ®(y4K)^®(p)(O«®<y')(*w0<. тт^:)-
Т мх'
В силу унитарности представления ^ = 2)(р) (/?)*а. Инте-
грал по всей группе слева дает множитель j dR = h. Справа получаются дважды контравариантный и ковариантный, а также контравариантный и дважды ковариантный Зу-символы. Поэтому
«, TK') = (jm, р\ j'm')Tjj,, (24.27а)
где
7уу- = 2 2(-i)2y+2p(^. р-, j*')(K г<:)
Т (1(1'
не зависит от tn, т' и о. Эта формула требует только, чтобы J и J' были хорошими квантовыми числами и чтобы Т был неприводимым тензорным оператором ранга ш = р по отношению к вращениям всех координат. Величина Tjj< в (24.27а) представляет произведение (—Y2J' + 1 на соответствующую величину из (21.19); в остальном эти два соотношения полностью эквивалентны. Заметим, что ковариантная компонента первого сомножителя скалярного произведения играет роль контравариантной компоненты. Причина этого заключается в том, что при вычислении скалярного произведения нужно взять величину, комплексносопряженную первому множителю.
Предположим теперь, что имеет место связь Рессела—Саундерса и что Wm и могут быть выражены с помощью (24.156) через функции Ef^ и имеющие соответствующие кванто-
вые числа для спина и орбитального момента. Так как Т" является бесспиновым оператором или по крайней мере скаляром относительно вращений спиновых координат, матричный элемент (24.27) не обращается в нуль только при 5 = 5'. Поэтому положим
S = S' и, в силу (24.156), получим
(чй, гч&) = V2J+T/27ТтX
ХОт, s\ Г)(Ут-, S’\ Z.V)(Е“ ГЕ??). (24.28)
Скалярное произведение в правой части не зависит от У и У, так что это выражение позволит нам сравнивать не только матричные элементы между состояниями с определенными J и J', но также и матричные элементы между всеми состояниями двух мультиплетов. Рассматриваемые состояния отличаются не только магнитными квантовыми числами т и т', но также и значениями
362
Глава 24
полного момента количества движения; J может принимать все значения от |S—L\ до «S —|— a J' — все значения от |S— U\ до S + L'.
Первый Зу'-символ в (24.28) происходит от первого множителя скалярного произведения. Чтобы придать этому соотношению „релятивистски инвариантный вид", превратим ковариантные индексы в контравариантные, и наоборот. Вычисление, сходное с вычислением, приводящим к (24.18а), показывает, что
(Jm, S\ L*) = (-1 f (Г, 5,. Lj. (24.28a)
2/ 2S+2Z
[Вместо (—1) можно было бы написать (—1) , причем в по-
казатель входят либо ковариантные, либо контравариантные векторы.] Поскольку Г также является неприводимым тензором ранга р относительно вращений обычных координат, к нему применимо и соотношение (24.27а). Запишем его в виде
(Е“ ГЕ^’О = 8VV- (Г, р, 40 TSL, sl’ ¦ (24.29)
Tsl,sv не только не зависит от |х, о, ц/, как и раньше, но также не зависит от v, поскольку Т” является скаляром по отношению к спиновым переменным. Комбинируя (24.27а) и (24.29) с (24.28), получаем
(Л р\ Ут') Tjr = = (— 1 fJ /27+Т VW+l {Jm, 5,. ?„)(/»>. S’. LV)X
X(L\ p\ l^')TSL'SL.. (24.29a)
