Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
для этой цели, является СЩ;, он определен в (24.3) и имеет явный
вид (24.6). Такой тензор позволяет опускать индексы вектора, выражая ковариантные компоненты fJm вектора через его контра-вариантные компоненты ff :
/? = 2 <#»'/"'• (24.14)
т'
Следует заметить, что тензор Cmm'=(—-m симметричен только при целых J, так что два индекса т, т' переставлять нельзя. Переход от ковариантных компонент к контравариантным производится аналогичным образом:
fj = Hcn/fJn., (24.14а)
п'
где 2)
Cf = (—I/"" 8„, = (-1)У+П' 8„, (24.146)
Мы будем пользоваться только ковариантными компонентами волновых функций, но как ковариантными, так и контравариантными компонентами ЗУ-символов. Например, компонента Зу-символа, контравариантная по последнему индексу, есть
/ Л к «\ = у Сшт- ( к к j \ = ( к к У\
\т1 т2 j J ~ 1 \Щ Щ т') \т1щ—т)'
(24.15)
Выражение (24.136) с помощью таких обозначений может быть, очевидно, записано в виде
Wi = /27+l(^ ; (24.15а,
или, короче,
W4 = /27+1 {J^STL9) (24.156)
В (24.15а) и (24.156) в отношении индексов строк (т. е. индексов v, (1 и т. д., указывающих строку представления) исполь-зовап принятый в общей теории относительности прием обозначе-
‘) Они первоначально были предложены К. Херриигом.
2) Можно предложить следующее мнемоническое правило для запо-
минания знака в (24.146): первый индекс (л) контравариантного (сол-
travariant) метрического тензора входит в показатель с отрицательным
(negative) знаком.
Коэффициенты Ракй
349
ния суммирования: по повторяющимся индексам строк производится суммирование. Один из индексов в каждой суммируемой паре всегда ковариантный (нижний), а второй — контравариантный (верхний). Свободные индексы строк, т. е. индексы строк, по которым не производится суммирование, ковариантны в обеих частях этого равенства или контравариантны в обеих частях. Поскольку кова-риантные индексы поднимаются в обеих частях с помощью одного и того же метрического тензора, свободные ковариантные индексы можно заменить в обеих частях любого равенства на свободные контравариантные индексы, и наоборот. В результате свободные индексы можно фактически опустить в обеих частях. Соотношение вида (24.15а) или (24.156), имеющее „релятивистски инвариантный вид“, остается справедливым и в том случае, если представления не приведены к виду, указанному в гл. 15, а лишь эквивалентны этим представлениям. Следует заметить, что величины s в гл. 17 являются по существу смешанными 3_/-символами
Несмотря на большое сходство принятых обозначений с обозначениями, используемыми в общей теории относительности, между ними имеется существенная разница. Индексы векторов и тензоров теории относительности пробегают всегда одни и те же значения (О, 1, 2, 3); они относятся к осям в одном и том же пространстве. Индексы в, я, р и т. д. все связаны с некоторым представлением; они относятся к различным партнерам, принадлежащим некоторому неприводимому представлению. Каждый индекс может принимать столько значений, сколько строк и столбцов имеет представление, с которым он связан. Суммирование („свертка") всегда производится по индексам, относящимся к одному и тому же представлению; свободные индексы в обеих частях соотношения— как, например, m в (24.156) — относятся к одному и тому же представлению (в данном случае к ф^). Естественным следствием этого является то, что не существует единого метрического тензора; каждое представление имеет свой метрический тензор. Разница между индексами, связанными с различными представлениями, находит свое отражение также в симметричности или антисимметричности тензоров; эти соотношения, записанные в (24.10) и (24.10а), не зависят от вида представления только в том случае, если переставляемые индексы относятся к одному и тому же представлению. Однако в этом же случае они действительно не зависят
(24.16)
350
Глава 24
от вида представления, и соотношение
(J 1 y)=(-lWJ ' J) (24.17)
\tn v (i у \/я р у/
справедливо независимо от того, в каком виде взято используемое представление. Это обстоятельство и приводит к тому условию относительно знаков Зу-символов, которое было принято.
Соотношение (24.17) имеет интересное прямое следствие: если связываются две частицы, волновые функции которых являются партнерами одного и того же представления („эквивалентные орбиты"), образуя состояние с полным моментом количества движения J,
<(1, 2) = (Jm, f, (1)^(2) (24.17а)
(здесь цифрами 1 и 2 обозначены переменные двух рассматриваемых частиц), то получающееся при этом состояние будет симметричным относительно перестановки двух частиц, если J-\-2j четно, и антисимметричным, если J-\-2j нечетно. Так, два 2р-электрона дают симметричные 5- и D-состояния и антисимметричное P-состояние. Это соответствует случаю у (в данном случае называемого I) равного 1 и У (в данном случае называемого L) равного 0 или 2 в симметричном случае и равного 1 в антисимметричном случае. Аналогично в результате связи двух спинов электронов получаем симметричное состояние 5=1 и антисимметричное состояние 5 = 0.
