Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
Коэффициенты Ракй
353
Образуем линейные комбинации волновых функций (24.Е.4), которые преобразуются по неприводимому представлению J при вращении координат всех трех частиц. Такие волновые функции можно получить тремя различными путями. Во-первых, можно связать моменты количества движения первых двух частиц в результирующий момент у, согласно (24.15а),
Х'т(1, 2) = уг2/:м(' j ) <24-2°)
и затем связать третью частицу с полученным моментом У, так чтобы образовать полный момент количества движения J,
Х#(1. 2, 3) = /27+т(^ ^ у)х;Дт(1, 2) —
= VU+\VV+^M I ;)(' “ )2)tav (24.21)
Индекс У указывает полный момент частиц 1 и 2, посредством которых было получено состояние Х& Волновая функция (24.21) была бы естественным предметом рассмотрения, если бы взаимодействие между частицами 1 и 2 было сильнее, чем взаимодействие каждой из этих частиц с частицей 3.
С другой стороны, состояния с моментом J могут быть получены, если связать сначала частицы 2 и 3, а результирующее состояние — с частицей 1 или если связать частицы 1 и 3, а затем получить окончательную волновую функцию, связывая полученное таким образом состояние с частицей 2. Эти схемы соответствуют более сильному взаимодействию между частицами 2, 3 и частицами 1, 3 соответственно, однако мы не будем рассматривать эту мотивировку более подробно. Полученные таким путем волновые функции имеют вид
«(1. 2, 3) = /27+Т 1/27+1 ( ' * “)(' I
(24.21а)
фйо. 2, 3)=/27W27+i( ' *;)('
(24.216)
Индекс У в (24.21а) означает совместный момент частиц 2 и 3. Подобным образом j в (24.216) дает совместный момент частиц 1 и 3.
354
Глава 24
Три состояния Чг^, Фм и X# не совпадают, хотя полный момент количества движения и его Z-компонента равны Jh и Mh для каждого из них. Однако поскольку каждое состояние (24.Е.4) может быть выражено в виде линейной комбинации всех Ф^г , то это справедливо также и для или х?{. Кроме того, если выразить, например,
Х# = 2 2 j'J'M') Ф&Г (24.22)
j’ ГМ'
через функции Ф, то коэффициенты при Ф{у с 7 ф J или М' ф М будут обращаться в нуль, так как эти функции Ф принадлежат либо представлению, отличному от представления функ-
ций Хл{, либо иной строке этого представления. Следовательно, суммирование по JМ' в (24.22) может быть опущено, а эти индексы можно заменить на У и Ж. Далее, коэффициенты c(JJM\ j'JM) не зависят от М, так как и Х^{ и Фм являются партнерами, принадлежащими одному и тому же представлению ®(y). Скалярные произведения (Хм, Ф’м) не зависят от М. Поэтому и коэффициенты с не зависят от М.
Следовательно, если всюду опустить множитель y2J-\-l, (24.22) дает соотношение вида
|/27+Т(ж1“)(™лл)1'Ах11=
= 2УСЛ ЛК2Т+т( ' I I (24-223,
В обеих частях последнего соотношения подразумевается суммирование по т, х, |х. Однако, в силу линейной независимости функций 'JvpxXp.' коэффициенты при каждом произведении ф*срхХ|1 в обеих частях равны
J (X tti\fj * *•'
М Л j) \т j\ j2
J Л г J\ Л J
J \ т\ fj' ч. |х
м Л У)\т Л Л
= 2 (-1)2Л(2/+1) г где
(-1 ?hcJ(]\j')
(24.23)
[J hj'\ = I h h J I
/2j+\ /2/+1 ‘
(24.23a)
Коэффициенты Ракй
355
Эти величины называются бу'-символами, или коэффициентами Ракй1) или коэффициентами повторной связи (recoupling coefficients). Последнее название указывает на связь с настоящим выводом, который заключается в переходе от волновой функции X к волновой функции Ф. В первом случае сильно связаны частицы 1 и 2, а во втором — частицы 1 и 3. Из вывода следует, что бу'-символы не зависят от х, X, ц [эти индексы вошли только при переходе от (24.22а) к (24.23)], а также не зависят от М (как уже было указано). Ниже мы покажем это еще раз. Следовательно, (24.23) является тождеством по х, X, ц, и бу-символ является универсальной функцией шести у, входящих в него; он полностью (численно) определяется этими шестью числами. Заметим, что в обеих частях равенства (24.23) подразумевается суммирование по т. Фактически же, поскольку в (24.23) последний Зу'-символ не обращается в нуль только при m = х —jx, для каждого / лишь один член отличен от нуля, и правая часть содержит по существу только суммирование по j'. Кроме того, в силу наличия Зу’-символов в правой части, даже член с т = х-|-|л исчезает, если не выполнено равенство = X —m == х —X —jjl. Левая часть содержит только один член — член с т = х-|-Х— и обращается в нуль, кроме случая уИ = jx —m == х —X —jx. Таким образом, (24.23) является нетривиальным соотношением только при М = х-|-X-)- ц. Это не удивительно, так как Хм и Ф Jm содержат только произведения с * —X —|х = М, так что сравнение коэффициентов при остальных не может дать никакой дополнительной
