Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
тричность или антисимметричность их не могут измениться.
Симметричная форма коэффициентов векторного сложения
Коэффициенты векторного сложения были первоначально определены в (17.16) как элементы матрицы S, которая преобразует прямое произведение двух представлений к приведенному виду
(17.15). Они вошли в (17.18) — и это является их наиболее важной функцией в качестве коэффициентов, позволяющих образовать функции, принадлежащие т-й строке неприводимого представления из произведений функций и принадлежащих соответственно (i-й строке и v-й строке Они выполняют ту же функцию в (22.27), где волновая функция с квантовыми числами J, т была получена в виде
= (24.8)
т. е. выражена через волновые функции Е, которые преобразуются операторами Q# и P# по представлениям и и принадлежат (т — [а)-й и (i-й строкам этих представлений соответственно.
') См. дальнейшее обсуждение этих соотношений и других характеристик неприводимых представлений в работе: Е. P. W i g п е г, Am. Journ. Math., 63, 57 (1941); см. также S. W. Mi 4 key, Am. Journ. Math., 73, 576 (1951). ' - !
344
Глава 24
f
Ни в одном из этих случаев три представления &L\ или
2)(У), 2)(5), 2)(1) не входят симметрично. Формула (17.22)
hMT) мТ)
®{1) (Я)^ ®(,)(ЛХ-, ®(?) (/?>;.+v%., н dR = (24.8а)
ближе всего подходит к удовлетворению этого требования, и она
будет нашей отправной точкой; здесь Л = J dR — объем группы.
Несколько более симметричной формой соотношения (24.8а) является
/fc(Wv®(Г)(fl)vS®(i)(RTm.mdR = -Lm'^im' • (24.86)
где S — первоначальная матрица, которая преобразует & X к приведенному виду. Согласно (17.20а) и (17.206),
Sl.m; (j-v = §m, (i + vSijiv. (24.8в)
Интеграл (24.86) обращается в нуль во всех случаях, кроме случая = и m = \i-f-v; при тех же условиях отличны от нуля и
коэффициенты S. Поскольку С+Ф*С=СГФ*С = Ъ, левая часть (24.86) будет симметричной по /, /, L, если умножить ее на Стч'Стх и просуммировать по гп’ и т. В правую часть можно подставить значение С из (24.6):
®fi(R),&L)(R\,xdR =
/©(w
1) ^L, -X'in'v' ( *) ^L, -X; цу ^24 8г)
— 2L +1
Поэтому, если положить
(-1 )l-xSLt_X;iL, (I I L
Y2L+\ \(i v X
то I, I a L будут входить симметрично. По причинам, которые станут ясными в дальнейшем, положим
1 1 L\ = (— iy~r~L ^ . (24.9)
(i v У 2i + 1
При внесении этого выражения в (24.86) множитель (—\)l~l~L исчезает, так как он появляется в обоих матричных коэффициентах S и так как /—/—L обязательно является целым числом; число L является целым или полуцелым в зависимости от того, целым или полуцелым является число / + /, т. е. 1~\-1— 21 = 1 — /.
Коэффициенты Ракй
345
Выражение (24.9) называется Зу-символом; его выражение через s в более симметричных обозначениях имеет вид
Поскольку коэффициенты s определены только при том условии, чт0 J\, Л и Л образуют векторный треугольник, т. е. если их сумма является целым числом и если | у,—Уг|"ЬЛ (или, что равносильно, если ни одно из j не больше, чем сумма двух других), Зу-символы также определены лишь при этом условии. Дальнейшие вычисления упрощаются, если положить, что Зу-сим-волы обращаются в нуль, если величины j не образуют векторного треугольника. Аналогичным образом исключается необходимость указывать пределы суммирования, если приписать значение нуль тем Зу-символам, для которых абсолютное значение какого-либо тп больше соответствующего j. Поэтому в дальнейшем мы примем эти условия.
Зу-символ, определенный равенством (24.9а), не вполне симметричен. Полная симметрия не может быть достигнута, поскольку в случае, когда, например, два из j равны, коэффициенты s не являются симметричными функциями индексов строк т.. Однако Зу-символы удовлетворяют следующим соотношениям-
т. е. при перестановке двух j с одновременной перестановкой соответствующих т („перестановка столбцов") значение символа не меняется, если -|- j2 -|-у3 четно; оно меняет знак, если j\ -f- у2 -f-у'з нечетно. Отсюда можно заключить, что значение символа не меняется, если j подвергаются вместе с соответствующими т. циклической перестановке:
Наконец, если у всех индексов строк изменить знак, получим
(24.10)
(
(
— тг — т2 — тъ
y'i Уг У'з
Таким образом, в общем случае (т. е. когда все три у различны и, по крайней мере, одно из соответствующих им т не равно
346
Глава 24
нулю) из значения одного символа можно получить значения еще одиннадцати. Если некоторые из j равны между собой или если все т. равны нулю, значение символа должно обращаться в нуль в силу указанных выше соотношений.