Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
') Эта лемма играет важную роль в теории матрицы рассеяния.
Коэффициенты Рака
341
и унитарна, то можно считать ее собственные векторы вещественными. Из
Сф = шф (24.4)
при умножении слева на С1 = С+ = С* следует, что v = u>C*v. Поскольку модуль собственного значения унитарной матрицы равен 1, комплексное сопряжение последнего соотношения дает
Сф* —шф*. (24.4а)
Если v н V* различны, то они могут быть заменены их вещественной и мнимой частями. Если v и V* различаются лишь постоянным множителем, они могут быть заменены их вещественной или мнимой частями. Отсюда вытекает, что симметричная унитарная матрица С может быть записана в виде
С = г-1(ог, (24.46)
где г — вещественная ортогональная матрица, г'г = 1, а ю — диагональная матрица. Запишем ю в виде квадрата другой диагональной матрицы Юр модуль диагональных элементов матрицы шх равен 1, причем top1 = to*. Следовательно, (24.3) принимает вид
r-1ft)2rD(/?) = D(/?rr-1ft)2r
или, если умножить это равенство на й)"1!1 = ю*г слева и на г-1»)"1 — г "1»)* справа,
ft^rD (R) r-1w* = w*rD (R)* г-1^. (24.4в)
Левая и правая части последнего равенства являются комплексносопряженными друг другу; следовательно, обе части равенства вещественны. Отсюда следует, что D(/?) становится вещественным, если его подвергнуть преобразованию г 1Wi = (ft)1r)~1. Обратно, если D(/?) может быть преобразовано к вещественному представлению, матрица С должна быть симметричной. Ясно, что С симметрична (а именно, является постоянной матрицей), если D(/?) уже вещественно. Поэтому она симметрична для всякой другой формы этого представления. Далее, отсюда следует, что если С в (24.3) антисимметрична, то D(/?) не может быть сделано вещественным с помощью преобразования подобия.
Определим, наконец, матрицу С^\ которая преобразует неприводимое представление трехмерной группы вращений в комплексно-сопряженное представление Матрицы С(^ играют
также важную роль в квантовой теории поля. Так как соотношение (24.3) должно выполняться для всякого вращения, применим его прежде всего к вращению на угол а вокруг оси Z. В этом
342
Глава 24
случае является диагональной матрицей и я/я-элементы левой и правой частей (24.3) равны
Л1) Jma_________„-"‘V'1
к-'птР —“ '-'J
пт*
(24.5)
Так как это равенство должно выполняться для любого а, матричный элемент cj/m обращается в нуль во всех случаях, кроме случая п-\-т = 0,
^пт = с\п^п, -т.' (24.5а)
Применим затем (24.3) к произвольному элементу группы, но выпишем только (— У, (1)-элемент (24.3). Соответствующие осо-
бенно просты. Имеем
с(/’3)(;)({арт})^ (24.56)
или, в силу (15.27а) и (15.276),
с(р cos-/+|1 sin^-11 -i- =
= (—ly-i1j/~() elia cos1 y p sin^-11 -i
откуда
c(/> = c(/)(—l/-^, (24.5b)
так как j—[i всегда является целым числом1). Поскольку С опре-
деляется из соотношения (24.3) только с точностью до множителя, выберем сУ*=1; тогда из (24.5а) получим
(_____1 \1~т я
'пт — V 1) ип, —m ¦
:(-1У + П8„, _m.
(24.6)
Все элементы матрицы С равны нулю, кроме тех, которые лежат на косой диагонали. Эти элементы равны поочередно -|-1 и —1, начиная с -|-1 в верхнем правом углу и кончая в нижнем левом углу числом —|—1, если j — целое число, и —1, если j — полуцелое:
iU).
0 . . 0 0 1
0 . . 0 ---1 0
0 . . 1 0 0
(24.6а)
Поэтому С симметрична для целых j и антисимметрична для по-луцелых j\ первые из этих представлений потенциально-веще-
') В настоящей книге все показатели основания (—1) являются целыми числами.
Коэффициенты Рака
343
ственны, а последние — псевдовещественны. Мы замечаем также, что прямое произведение двух потенциально-вещественных пред-ставлений или двух псевдовещественных представлений содержит только потенциально-вещественные неприводимые компоненты. Неприводимые части прямого произведения потенциально-вещественного представления и псевдовещественного представления все псевдовещественны1). То обстоятельство, что представления с целыми j могут быть приведены к вещественному виду, можно было бы усмотреть из того факта, что мы могли бы использовать в (15.5) вещественные линейные комбинации Ylm-\-Yl-m и iiYlm—У-m) сферических функций. Соответствующие Т>1 имели бы вещественный вид. Если в соотношение (24.3) подставить явное выражение матрицы С, оно принимает вид
®(У)(Д);-т= (-О"1-"' ?>(Л(Я).*,,, _т; (24.7)
это может быть показано также непосредственно. Естественно, что вид С(^ зависит от того, в какой форме взяты но симме-
