Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
358
Глава 24
в (24.24) приводит к появлению в левой части множителя (—iy-+/' + I‘4\ а в правой — множителя (—1 +Л+Л+ А+^+2/
Отношения этих Зу-символов, входящих в обе части равенства, изменяются так, что появляется множитель (—КОторый равен 1, поскольку векторы 1Х, /2, у должны образовывать векторный треугольник. Сочетание этих двух результатов показывает, что 6J-символ остается неизменным, если его столбцы переставлены произвольным образом. Наконец, перестановка j\ с 1Х и у2 с /, приводит к появлению в левой части (24.24) множителя (—I)2 (вследствие перестановки ковариантного и контравариант-
2 / *¦” 2/ 4- 2 /
ного X) и в правой части — множителя (—1) 1 . Отношение
этих множителей также равно 1, поскольку обе пары j\j и 1Х1 образуют векторные треугольники с у2. Следовательно, бу-символ не меняется, если переставить первые два столбца. Комбинация этого результата с предыдущим показывает, что 6j-символ не меняется при перестановке любых двух столбцов. Всего имеется 24 перестановки у, не меняющих 6/-символ; это все те перестановки, которые переставляют произвольным образом четыре тройки векторных треугольников1). Между бу-символами существуют другие соотношения. В частности, соотношения симметрии могут быть записаны в более явном виде, если (24.246) умножить на полностью контравариантный Зу-символ от j\j2j3 и свернуть по всем относящимся к ним индексам.
Наиболее простая общая формула для вычисления бу-символа следует из (24.246). Чтобы получить ее, выберем некоторые специальные значения для ц2, ц3; положим |х4 =—¦ jx, ц2 = j\—У3. |х3 = у3, что обеспечивает наиболее простые выражения для Зу-символов, которые только могут быть получены в общем случае. На аналогичном выборе ц неявно основано вычисление бу'-символов при выводе формул Хёнля — Кронига. Несколько иное выражение для Зу-символов было дано в работе Ракй2). Тем не менее вычисление остается весьма трудоемким. Однако имеются обширные таблицы бу-символов или эквивалентных им величин. Таблица Шарпа и др.3) является, пожалуй, наиболее приемлемой. Отметим
‘) Подробности см. в цитированной на стр. 338 монографии Эдмондса и в цитированной на стр. 352 работе Биденхарна, Блатта и Роуза.
2) См. цитированную на стр. 227 работу Рака.
3) Sharp, Kennedy, Sears, Hoyle, Tables of Coefficients for Angular Distribution Analysis, CRT-556, Atomic Energy of Canada, 1954. См. также Simon, Van der Sluls, Biedenharn, Oak Ridge National Laboratory Report 1679, 1954; Obi, Ishidzu, Horie, Yana-gowa, Tanabe, Sato, Ann. Tokyo Astron. Obs., 1953—1955; Roten-berg, Bivins, Metropolis, Wooten, The 3-J and 6-/ Symbols, Cambridge (в печати); К. M Howell, Tables of 6-j Symbols, University of Southampton.
Коэффициенты Ракй
359
лишь три довольно тривиальных случая. Если у2 = 0, то векторы
^i> Л> h будут составлять векторный треугольник только при
/3 = /j. Аналогично из треугольника jv у'2, У3 следует у, = у3. Поэтому при у'2 = 0 все не обращающиеся в нуль бу'-символы будут иметь вид
' j\ О Л1 (—
. . . = -r-L Ч -==¦. (24.26)
h 1 h\ /2у, + 1^2Л+1
Симметрия бу-символов позволяет сместить 0 в любое положение При у'2 = 1/2 имеем два типа бу'-символов:
W
11-. 2 2
h J h
(>-2У.+ 4)(/-2Л+у)'
2y'i (2y\ + 1) 2y'2 (2y2 + 1)
(24.266)
где У = у-! —|— _/2 4~Л
Наконец, при у2 = 1 имеются четыре типа бу'-символов
У.-i 1 Л
У 2 J У*2 1
-Г П7Г -/(-/+ 1) (-/ — 27 — 1) (У — 27) 1*
“ ( ' 1.(27, —1) 2/, (2у, + 1) (2Л - 1) 2Д (2у2 + 1) J * ^
Л-1 1 Л у 2 — 1 J Л
_, у/-1Г (/ ~ Уд и - У, 4-1) и- 2Л) (У - 2Л + 1) lv’ m ’ L (2у,-1)2Л(271 + 1)(2Л-1)2Л(2Л4-1) J ’
Л 1 Л у*2 — * у Л
1^Г 2(У+1)(У-2У)(У-2;,)(У-2Л+1) (t>. .
“ ^ L 2у, (27, + 1) (27, + 2) (2у2 - 1) 2Л (2/2 + 1) J *
У С/ 4~ 1) —ji (Ji 4-1) Ji (Л 4-1)
t h J hi ( 1} (2y, + 1) (2Л 4- 2) Л (2/2 + 1) (2/, + 2)]V.
. (24.26e)
360
Глава 24
Последняя формула, если подставить = L, j2 =S, j = J, будет эквивалентна правилу интервалов Ланде.
Поскольку бу-символы не зависят от вида, в котором взяты неприводимые представления, то, казалось бы, можно найти их, исходя из характеров представлений. Это не вполне верно, так как при определении этих символов были наложены условия на знак. Однако имеются выражения с бу-символами, которые не зависят от этих условий относительно знака, как, например, квадрат бу'-символа. Действительно, квадрат 67-символа может быть выражен в виде тройного интеграла по группе
