Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.
Скачать (прямая ссылка):
365
тельно, р и S могут быть переведены в один Зу-символ с помощью коэффициента Ракй:
„ IS' <о у)
(S'Sq')(p<oq.)=(—1) ^S(2y + 1)|р 5 q } (s'“/) (Р$У.).
(24.34а)
Произведение двух последних соотношений, просуммированное должным образом по индексам, соответствующим р и S, может быть упрощено с помощью соотношений ортогональности (24.25):
(p-L'L-)(JS-L.)(S'S.q-)(p.*q.) =
= (-lf«^(2y+ !){' f, '} { J " ^}(Л.У.)<У.Л
(24.35)
Чтобы отождествить это выражение с правой частью (24.33), следует изменить положение индексов, соответствующих 5. Это вво-
2 9
дит лишь множитель (—1) . После этого умножение на (J'S'L') = = (S'L'J') и соответствующая свертка по индексам величин S' и L' дает для произведения пяти Зу-символов в (24.33) выражение
(-lf+2p+2S2(2y-f 1){у I 5
Оно имеет теперь вид (24.246) и равно
S' со у Р S q
У (О У S' U у
(М').
Положение индексов величин у и S' следует сместить, а это вводит множитель (—\^1+2S _ Однако показатель может быть упрощен с помощью различных условий для квантовых чисел, образующих векторные треугольники. Окончательно получаем
Ъг = (-1 )2ш /27+7 /2Т+Т X
^ 2/ • \Р S Л f5' “ У) \J “ Л
х2(—О (2/+ j и Ц\р s q\ 15' L' j
(24.36)
Следует заметить, что имеются три существенно различных способа группировки множителей в правой части (24.33) и соответственно имеются три различных способа представить 9/-символ
366
Глава 24
в виде суммы произведений трех бу’-символов. Данный способ группировки был выбран здесь, чтобы упростить дальнейшие расчеты.
Интересный частный случай имеет место при ш = О, т. е. если оператор Т является инвариантом относительно одновременного вращения спиновых и обычных координат. Это имеет место, в частности, для энергии взаимодействия спина с орбитальным движением. Если ш = 0, то должно быть p = q и J=J'. Кроме того, поскольку второй бу'-символ не обращается в нуль только в том случае, если S', <о и у образуют векторный треугольник, вклад в сумму дает только член с j = S'. Пользуясь выражением (24.26) для второго и третьего бу'-символов, после преобразования бу'-символа получаем
Г,, = (-./«— ?§Е{^, I * (24.36а)
что в сущности снова представляет собой бу’-символ. При р= 1 это дает правило интервалов Ланде, а случай р = 2 соответствует спин-спиновому взаимодействию, бу'-символы появляются также в других разделах спектроскопии, таких, как определение волновых функций в сложных атомах. Они играют важную роль также в теории структуры ядра, ^-распада, угловой корреляции между частицами или квантами, испущенными последовательно, в теории ядерных реакций и, последнее по счету, но не по важности, в определении ядерных волновых функций. Более подробные обзоры по данному вопросу упоминались ранее в настоящей главе.
Глава 25
ПРИНЦИП ПОСТРОЕНИЯ
1. Принцип построения1) позволяет оценить положения энергетических уровней атомов. Анализируя правила отбора, расщепление во внешних полях и т. д., можно в принципе определить такие характеристики отдельных уровней, как орбитальное квантовое число. Однако полезно было бы также получить некоторые сведения относительно области спектра, в которой следует искать уровень заданного типа. Принцип построения и выполняет эту задачу.
Однако основное значение принципа построения заключается не в его приложениях к анализу сложных спектров, а в том, что положения энергетических уровней определяют наиболее важные физические и химические свойства атомов. Так, например, сильная электроположительность щелочных металлов является следствием их способности освобождать электрон с поглощением относительно малой энергии; иначе говоря, основное состояние лежит не намного ниже основного состояния иона. Наоборот, инертность благородных газов по отношению к химическим реакциям объясняется особенно большой разницей между возбужденными и ионизованными состояниями, с одной стороны, и основным состоянием, с другой. Этот подход, играющий столь большую роль в атомной физике, берет свое начало в объяснении Н. Бором наиболее важных особенностей периодической системы элементов. Наиболее важными этапами в открытии принципа построения были, по-видимому, векторная модель Ланде — Зоммерфельда, формулировка нормальной связи Ресселом и Саундерсом и принцип запрета одинаковых состояний Паули. Ясная формулировка принципа построения была дана Ф. Хундом.
Чтобы получить оценку положения энергетических уровней, т. е. собственных значений уравнения Шредингера
(25.1)
1) См. примечание 2 на стр. 220.
368
Глава 25
начнем с упрощенного уравнения
Н0ф = (Н1 + Н2+ ••• +Н„)ф = ?ф,
u _ й2 / д2 , <52 , <?2 \ Ze2 ^ а'