Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Вигнер Е. -> "Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров" -> 134

Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров - Вигнер Е.

Вигнер Е. Теория групп и ее приложения к квантомеханической теории атомных спектров — Москва, 1961. — 444 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyagruppieeprilogeniekdrugim1961.pdf
Предыдущая << 1 .. 128 129 130 131 132 133 < 134 > 135 136 137 138 139 140 .. 176 >> Следующая


3) См. цитированную на стр. 215 монографию М. Роуза, а также A. R. Edmonds, Angular Momentum in Quantum Mechanics, Princeton University Press, 1957. В последней монографии наши обозначены !}ерез (?[xS-* | LSJp + v^.
Коэффициенты Ракй

339

Комплексно-сопряженные представления

Условия вещественности неприводимых представлений играют существенную роль в дальнейшем анализе. Эт.и результаты были получены впервые двумя основателями теории представлений — Фробениусом и Шуром 1), и мы воспользуемся ими также в гл. 26.

В предыдущих главах были описаны различные способы получения новых представлений из заданного представления или из пары представлений. К ним будет добавлен новый, хотя и вполне очевид- -ный путь: переход к комплексному сопряжению. Если D(/?) образуют представление группы, то и (D(R))* образует представление, т. е. представление образуют матрицы, элементы которых являются комплексно-сопряженными элементам D(/?). Ясно, что из соотношения D(/?)D(S) = D(/?5) следует D(/?)* D(S)* = D(/?S)*. Далее, если представление D(/?) неприводимо, то это же относится и к комплексно-сопряженному представлению D (R)*. Если преобразование с матрицей S преобразует все D(/?) к приведенному виду, показанному на стр. 105, то S* будет приводить D(/?)* к аналогичному виду.

Комплексное сопряжение приводит к важному различию между неприводимыми представлениями: представление D(/?)* может быть либо эквивалентным, либо неэквивалентным представлению D(/?). Так как характер представления D(/?)* является комплексно-со-пряженным характеру х(/?) представления D(/?) и так как два представления эквивалентны, если совпадают их характеры (см. стр. 106), то представление D(/?) будет, эквивалентным комплексно-сопряженному представлению D (/?)’, если его характер веществен, т. е. если все числа x(R) вещественны. В противном случае D(/?) и D(/?)* будут неэквивалентными.

Формулы (15.26) и (15.28) показывают, что все неприводимые представления трехмерной группы вращений, а также двумерной унимоду-лярной унитарной группы, имеют вещественные характеры. То же самое относится ко всем группам, в которых каждый элемент находится в том же классе, что и обратный ему. В этом легче всего убедиться, если рассматривать представления в унитарном виде. Тогда из соотношения

D(fl_1) = D(fl)+ (24.2)

следует, что характеры матриц для R и R~l являются комплексно-сопряженными. Если R и R~l принадлежат одному и тому же классу, характеры R и R~l также равны. Следовательно, они вещественны. Такое положение имеет место в случае трехмерной группы вращений, двумерной унимодулярной унитарной группы, а также в случае группы всех двумерных вещественных ортогональных матриц. Оно не относится к группе двумерных чистых вращений, и эта последняя имеет представления как с вещественными, так и с комплексными характерами (см. гл. 14).

]) О. Frobenius, I. Schur, Berl. Вег., 1906, S. 186.
340

Глава 24

Если D(/?) унитарно и имеет вещественный характер, то существует такая унитарная матрица С, которая преобразует D (R)* в D (/?). Тогда

CD (/?) = D (/?)* С. (24.3)

Если представление D (/?) неприводимо, то С в (24.3) определяется однозначно, с точностью до постоянного множителя. Кроме того, матрица С либо симметрична, либо антисимметрична. Чтобы доказать эту теорему, возьмем соотношение, комплексно-сопря-женное соотношению (24.3), и умножим его на С слева. Тогда

CC*D (/?)* = CD (R) С* = D (R)* CC*. (24.3a)

Последнее выражение получается, если снова использовать (24.3). Если представление D (/?)* неприводимо, то матрица СС*, которая коммутирует с ним, должна быть кратной единичной матрице: СС* = с1. Кроме того, поскольку С унитарна, С С*= 1; отсюда вытекает, что С = сСт. Транспонирование этого соотношения дает Ст = сС, так что С = с2С, с=±1. Это дает

С=±СГ. (24.36)

Далее, легко убедиться в том, что если С симметрична для представления D(/?), то она будет симметрична и для эквивалентного представления S_1D(/?)S. Аналогичное утверждение относится и к тому случаю, когда С антисимметрична, так что возможность, следующая из (24.36), дает классификацию неприводимых представлений с вещественными характерами на представления, для которых С = Ст, и представления, для которых С = — Ст.

Резюмируем полученные выше результаты. Если D (R) есть унитарное неприводимое представление, то таким же будет представление D (R)*. Представления D (R) и D (R)* неэквивалентны, если x(R) комплексны для любых R. Неприводимое представление этого рода будет называться комплексным. Если X(R) вещественны, то D(/?) и D(/?)* эквивалентны. Унитарная матрица С, которая преобразует одно из них в другое, либо симметрична, либо антисимметрична. В первом случае представление будет называться потенциально-вещественным, а во втором случае — псевдовещественным.

Основание для такой терминологии заключается в том, что D (R) фактически можно придать вещественный вид, если матрица С в соотношении (24.3) симметрична. Это следует из следующей леммы1). Если матрица С одновременно симметрична
Предыдущая << 1 .. 128 129 130 131 132 133 < 134 > 135 136 137 138 139 140 .. 176 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed