Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
"(I -i)-
2. msu = mtumst; a2su = m2tua2st + a2tu.
3. Переходная функция имеет вид 1
У2я (t — s)
Р (s, х, t, Г) = 1 ( e-W-ху/12 V-s)]dy
^,n (t — s) j
г
при t > s (естественно, P(s, x, s, Г) = 6*(Г), как для каждой переходной функции). Доказать, что это марковский процесс, легче всего, пользуясь конечномерными распределениями (см. результаты § 8.2).
13 А. Д. Вентцель
369
4. Нужно найти Р {?( е Г | ^”<s} ILSiP {?( е Г | ?„}, s < /<0
(для s = / искать переходную функцию, конечно, не надо, так как это мера, сосредоточенная в одной точке—точке выхода). При t = 0 рассматриваемая условная вероятность, естественно, равна 6о(Г). При s < f < 0 пользуемся двумерной плотнсстью винеровского процесса:
( ) ----------1-----г._...g-y»/g(-Q)-(*-irtVP<-.+t».
V2n(—О V?.«(—S + 0
Получаем,
( У 1 ^ = *) = PS,. I, У): Р?, (*) =
-u4&(-t))-(x-ymu-s+t)).
У2я (— 0 У2я (— s + <)
е
1
У2я (— s)
1
е-л7<2<-5» =
У2я< (t — s)/s
“P {— (y — (</s) x)2/(2 (//s) (t — s))}.
Иначе говоря, условное распределение ?< при условии, что = = X, — нормальное со средним (t/s)x и дисперсией (t/s)(t — s).
5. а) Да, Р (п, х, п + 1, Г) = ^ р (у) dy.
Г
б) Да, Р (п, х, п + 1, Г) = ^ р (у — х) dy.
Г
в) Нет. Действительно, при х > 0 условная вероятность
О оо
Р {SjJ" > 0 | Sg = 0, S+ = х} равна интегралу ^ ^ р(у—х)\
— оо О
Х|5(г — у) dy dz и, естественно, зависит от х.
г) Нет, потому что для х > 0 условн-ая вероятность Р {т)3 > > х I Т)2 = х, Т), = 0} будет другая, чем Р {т)3 > х | т)2 = х, т), = х}:
оо 0 оо
первая равна ^ р (z) dz, а вторая ^ ^ р (у) р (z — у) dy dz,
0 — оо 0
т. е. меньше.
д) Да, Р (п; х, у; п + 1; Г) = ^ p(z — y)dz, если
Г'Л(-°о, *1
Г — подмножество прямой {(и, v): и = х}, задаваемое условием на вторую координату v е Г'; Р (п; х, у; п + 1; Г) =
= ^ р (г — у) dz, если Г — подмножество прямой {(и, v):
Г' П I*. оо)
и = v}, задаваемое условием и = и е Г'; и Р(п; х,у; п + 1; Г)= 370
= 0 для Г, не пересекающегося с Указанными Двумя прямыми (точнее, лучами). См. рис. 40, где изображеНЫ два луча, На которые можно попасть из точки (х, у) фазовог0 пространства (имеет смысл рассматривать только точки с. у^х).
Доказательства не приводим.
в. Изобразим траекторию случайного процесса на чертеже (рис. 41). Этот случайный процесс — не марковский, так как, например, условное распределение S4J при условии, что S4,6 = и, a S43 = v, сосредоточено в точке 2и — v, а эта точка зависит от v, чего не могло бы быть для марковского процесса.
7. Приводим только переходные функции.
2, 3, 4. Переходные плотности р (s, х, t, у) соответственно l/V2ii(t — s) е~{у-х)2/{2 1 /(2л (t — 5 ))г/2 е ~ 1 у ~ х f72 ~ s >,
n~l(t-s)/{(t-s)2+(y-xf).
5. Для процесса F* (F 1 (f)) переходная функция
г «, kin,Г) _ ? azl (т9г)'’* (т^тУ s«",Г)-
/=*
7. Р (S, х, t. Г) = e-a(t~s)bx (Г) + a (t - s) <Ta«-s)6*+i (Г)+
+ (a(t- s))2 e-a^rs'>/(mx+2 (Г) + - • •
8. Матрица вероятностей перехода:
/(1+е-2“(/-*>)/2 (1 — e-2a<f~*>)/2' Ul_e-2«(‘-*))/2 (l+e-2a<^s))/2.
9. Переходную функцию можно задать характеристической
функцией приращения — ?,(1 т. е. ^ P(t, х, t', dy) eiz^~x^,
найденной в задаче 11 § 1.2.
8. Переходная плотность
р (s, х, t, у) -- 1
)•
-^2я (t — s)
[е - (У - *)7(2 «¦- S)) + е- (у+х)»/(2 (< - ^))] .
§ 8.3.
1. II Psl II ^ 1; норма операторов в В не меньше 1, так как
Р 1 = 1; норма сопряженных операторов та же. 13*
371
§ 8.4
1. Система всех А, представимых в таком виде, — ст-алгебра; она содержит все события вида {?* е Г}, t ^ s, Tef.
2. Левая часть в силу формулы (17) § 8.2 есть почти наверное j (0^_1.В); в силу (1) это то же самое, что Р^ (В).
§ 8.5
1. Переходная функция P°(t, х, •) процесса с остановкой в нуле состоит из части, сосредоточенной в точке 0, и абсолютно непрерывной части; пользуясь принципом отражения, находим ее
плотность- 1 (е-(У-*)2/(20 е-(У + *)2/(20)
плотность. '* Для доказатель-
ства того, что (до?, Рх) — марковское семейство, пользуемся простым марковским свойством.
2. По индукции доказывается, что х„ — марковские моменты,
