Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
6. Уравнение: т(дс+1)/2 — т(х) + т(х—1)/2 = —1, 0<
< х < п; решение: т(х) = х (п — х) для 0 х ^ п.
8. Уравнение v(x+l)p — v(x) -f v(x—1 )q = —1, x > 0; общее решение: v(x) = x/(p — q) + Ci + C2(q/p)x при x 3= 0, p ?= q, v(x) ——jc2 + Ci + C2* при x 3= 0, p — q = 1/2. При p 3s <7 неотрицательных решений нет, и, значит, М*т = оо; при р < q наименьшее неотрицательное решение есть т(х) = = x/(q — p).
9*. <7 (*) Pz (х) — z (х) = — g (*), x <= D; z (x) = 0, x^D.
§ 13.2
1. Используем марковское свойство:
Px {x >(n + 1) 7-} = Px ({t > nT) n {t > 7-}) = = J Р1пТ{х^Т}Рх^)^(\-(,)Рх{х^пТу,
{x>nT}
по индукции получаем оценку (1), а дальше пользуемся тем, что
ОО
М1т<7' Рх{х>пТ).
п = 0
2*. Решение аналогично доказательству теоремы 1 § 13.3. 3*. Инфинитезимальный оператор марковского семейства 0V заДается формулой Af(x) = а[/(* + 1) — /(*)] — <*/'(*)• Гладкая финитная функция v(x), определяемая формулой а~1х(1 +1 —х) при 0 х ^ I + 1, удовлетворяет уравнению Av(x) — —1 при * е [0, /]. Из этого вытекает, что
и(^) = Мх[и(т1тдг)+ (т А Щ>Мх(х Д Т).
Предельный переход при Т -*¦ оо дает нужную оценку.
4. Собственно, решать после того, как прочтен предыдущий текст, уже нечего.
5. Искомая вероятность р(х)—решение задачи -^-а(х)р" (*) + Ь (дс) р' (х) = 0, р(с) =0, p(d) = 1. Общее решение уравнения есть С, ^ е~2Ь ^ dx + С2; решение, удовлетворяющее
386
граничным условиям:
х d
,W-S е-2Ь Wa <»> г-26 «*) rfy.
с с
6. Достаточно проверить, что -^- Д In | * | = 0. Теперь займемся предельными переходами. Обозначим через хп т>, т0 момент первого достижения окружностей радиуса г, R и точки 0. При R оо момент Тя стремится к бесконечности, поэтому lim Р (х = <°°1 (это — вероятность монотонно-
Я->оо * 1 г к> х 1 г ’
го предела событий), т. е. вероятность когда-либо достичь di равна 1.
Далее, тп = lim х , поэтому г i О г
Рх {'С0<ТЛ> = |^т0Рх {ТГ<Т*} = 0
при всех х Ф 0; предельным переходом при R -> оо получаем Рх {То < оо} =0.
Почему нельзя получить Рл:{То<°°} предельным переходом от Рх {хг < оо} при г | 0? Дело в том, что, тогда как Р| {тг < = |т0 < пересечение {тг < оо} не совпа-
г > 0 г>0
дает с {т0 < оо}, потому что lim хг может быть равен оо.
7‘ Px{Tr<T«}==(1/iJC J— l//?)/(I/r—I//?); имеем Рж{т.<оо} =
= Рх К < т*} = г/1 * I ПРИ I * I > г; Р* (то < т*} =
= 1im Рх |тг < = 0, и точно так же P^|tq<ooJ=0 при
х ф 0 (ср. задачу 2* § 7.4).
8. m(*) = (R2—|де|2)/г; в частности, среднее время выхода для траектории, начинающейся в центре шара, равно R2/r.
Совершенно так же, если D — область, ограниченная поверхностью второго порядка:
D = | х: v (*) = ^ Aijx'x’ + ^ BiX1 + С ^ 0 |,
<7 I
имеем
у Ди (*) = ^ Лгг.
i
Отсюда вытекает, что МЛт < оо, если ^ Л/г < 0; в случае огра-
i
ниченной области D, т. е. эллипсоида
Мхх = v (х)А ^ Аа
387
Можно доказать (например, используя стохастические интегралы), что это выполняется и для неограниченной области и что М*т = = оо, если ^ Ац^О.
I
9*. М*, ух = (х2 sin2 (а/2) — у2 cos2 (a/2))/cos а при а < я/2,
М*, ух < со для острого угла,
M*, i/T = оо для прямого или тупого.
10*. Конечно.
11*. Проверяется, что
и(х\ х2) = ^ Рх'х2 (у) f (у)
— ограниченное решение задачи — Дц = 0 в D, u(xl, x2)—>f(y)
при (*', х2) -*¦ (у, 0) е= dD.
12. Вне компакта
Dn = D(]{x:\x\*ZN]
изменим функцию и, оставив ее гладкой, но сделав финитной. Имеем для х е Dи (х) — где т/у— момент выхода
из Dn.
Устремляем N к бесконечности, пользуемся леммой Фату:
и (х) > Мя Jim и(ЕХЛ,)>Мхф(6х),
N->oo
потому что если т < оо, то и (1Тлг) = Ф (1т) ПРИ достаточно
больших N; при т = оо нижний предел неотрицателен, а вместо Ф (?т) берется 0.
Доказываем второе утверждение:
v (х) = (|TJV) + Мл; ^ ? (is) ds;
^N х
(*) > М* lim V (%XN) + Мл; lim ( g (|s) ds > M* ( g (|s)'ds.
N~oo N> N + J
15*. Окружим точку x сферой S = {у: \y — x \ = e); момент первого достижения этой сферы обозначим через Ts. Для траекторий, начинающихся внутри сферы,
0Tst = t — rs, Qxswx = wx.
Пользуемся строго марковским свойством относительно момента Ts:
