Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
няется предыдущая задача.
4. Результат почти вытекает из задач 1 и 3 — остается неясной только измеримость т|з = на множестве {т = оо} (где, в частности, интеграл может расходиться). Другой возможный
ОО
путь решения — представить т|з как ^ f (s, %<х (s) ds.
о
Этот же результат сохраняется и для неограниченной функции f.
§ 7.1
1. м (if - у (|в - = мм ((gf - у (|и - у | grt) =
= M((6f-iJ)M(gu-g/|^f)) = 0 2- М (Sn+2 I (М (^я + 2 I *¦„+.)! ^П)=М (ея+1 I ^я)=ЕВ .
И Т. д.
§ 7.3
1. ?т измеримо относительно достаточно доказать, что
$ ёт dP < J iw rfP для любого Л е SFх. Разобьем интегралы А А
по Л на интегралы по Л П {t = л) и докажем для каждого из них неравенство отдельно. Имеем Л (] {т = п) е и
S мр= S ^р< S ^р
ЛП{т=л} А(][х=п) А{\[х=п)
в силу формулы (5) § 7.1.
367
2. Докажем, что ^ ^ dP для любого
А А
1овторяем доказательство микротеоремы 1:
S«.«-ZZ S ^р=
п= 1 k=n ЛП{т=п, a~k) N
“Zf \ s“‘,p- S t"‘,p +
п=* 1 LA(][x=h} A(][x=n. a>n)
+ S E„+1dP----+ 5 lkdP~
Af]{x=n,a>n} АП{х=п, a>k-\)
\ ikdP+...+ J lNd*\>
A[\{x=-n, a>k) ЛП(т=п, o>N-\] J
N
л=»1 ЛГЦт^гс} Л
3. Имеется тысяча различных способов доказательства; в частности, утверждение вытекает из результата п. 46) § 8.5.
4. Положим хп = ( [2пх] + 1 )/2 А л; т„->т при п->оо, причем, начиная с некоторого я, тп > т. Поэтому ?т = lim |т , и
П->оо п
М?т = М lim ?т lim sj lim М?0= MgQ (используем то,
П-> оо Я Л->оо Л л->оо
что тл — марковский момент с не более чем л - 2” значениями).
5. Положим x = min{7: wt — a или 6}; х N = x А N. В силу
микротеоремы 3, Мш1^ = Мш() = 0. Величины ограничены
по модулю константой | а | V | Ь |, и Мш = lim Мш =
^ yV-> оо N
— lim Мш = 0. Но Mm = а ¦ Р fw = а] + Ь ¦ (1 — Р fw = aU
N->oo 0 т ' х 1 К X X )Г
откуда Р = a} = 6/(6 — a).
cw2,! 2 сб“/2
6. Р{ max | ws | 6} Me 1 : e ; математическое
OO
ожидание равно • I--- \ еа’/2е“1!/2< dx = (1 — ct)~ ’/2 ПРИ c < 1/^-¦yj2nt J
- OO
Минимум (1 —ct)~ll2e-c&!l2 по с достигается при c=\/t — 1/б2 (если t < б2; пр / ^ б2 это выражение тем меньше, чем меньше
с > 0). Получаем Р { max | ws | ^ 6} д/е//б2е_6г^2<* при
t < б2 (при /^ б2 получается только тривиальная оценка: вероятность 1).
7*, 8*. В задаче 7* Q берется очень близким к 1, в задаче 8*, наоборот, — очень большим.
368
9*. Можно повторить решение задач 7*, 8*, а можно воспользоваться тем, что w I — twyt — другой винеровский процесс.
10*. Вытекает из задачи 9* и абсолютной непрерывности распределения на конечном отрезке относительно распределения wt (задача 15 § 5.3).
§ 7.4
1. Полагаем Sk = 9~-k, где k пробегает все целые отрицательные значения; М(^|^) — мартингал относительно этого неубывающего семейства ст-алгебр. Существование предела вытекает из теоремы 1 так же, как при доказательстве теоремы 2. Доказательство равенства интегралов еще проще, чем в этой теореме.
2*. | wt—*о1_1—супермартингал с непрерывными реализациями; sup М (J wt — х0 ]~*) = М (| wQ — *о Р*) = I *о < 00 при х0 ф 0. Поэтому с вероятностью 1 существуют lim | wt ~
t -> ОО
— xQ |-1 и конечные пределы | wt — jc0 ] — 1 справа и слева в каждой точке t ^ 0. Отсюда вытекает, что с вероятностью 1 [ wf —
— xQ |_1 < оо при всех t ^ 0, т. е. w{ ф xQ ни при каком t ^ 0.
Для х0 = 0 можно взять супермартингал | t ^ S > 0; так
как sup М I mi. Г1 = М I Г1 =----------- ... \ ,-Ц х ^^dx <
t>6 ' М 151 (2пЬ) 1 J I * I
< оо, то к этому супермартингалу применима теорема о сходимости, и с вероятностью 1 W/ ф 0 ни при каком t ^ 6 > 0, т. е., в конце концов, ни при каком положительном t.
Далее, lim \wt—*0|~I=0 почти наверное, потому что со-
о
ответствующий предел по вероятности lim (Р) | wf — t Г1 ра-
/ Оо
вен 0. Это означает, что почти наверное |и><|—>-оо при /-»- оо. § 8.1
5 i
1. Решение — просто выкладка. Матрица Р была построена как e(t~s)A =? + (/-«) Л/1! + (/- s)2 Д2/2! + ..., где Д =
