Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
X Г1 + ? (K/L)2(4L2 [r* (t-s) + r(t- s)»])»+V(« + 1)!.
L n = 0
3. Имеем:
M 11' _? |2<2M
SiA-cyv s* A tJV
+ |2M
^И^)-<*(!«)] dwu
s
\ [b (l'u)-b(lu)]x<XN(u)du
+
^2L*(r2 + r(t-s))M J \l'u-tu |2 du <
s
i
<2 L> (r* + r (/ — s)) ^ M |^д^-1»Л^ |2^-
s
Начиная с неравенства
^ Н*Атлг ^Л*лг| ^л,а
по индукции получаем нужное неравенство. Из него получаем
М Wt
(Л^лг ^А*лг|
: О
(так как п можно взять сколь угодно большим). Значит, почти наверное = \t при t ^ а так как N тоже можно взять
сколь угодно большим, то и при всех г.
4. Пусть — последовательные приближения, сходящиеся к 1^, соответственно (?^=т), = т/). Имеем
мк;(,,+1)-^+1)|2<
t
<3Mlr,'-r,l2 + 3L2(r2 + r(f-S))^ М
s
383
откуда по индукции получаем
м I l'tn) - l(tn) f < ЗМ I уГ - Т,|2 [1 + 3 L2 [г2 (t-s) + r(t - s)2] + + (3L2 [л2 (i-s) + r(t- s)2])2/2!+(3L2 [л2 (t s) + л (f-s)2])"//»!].
Предельный переход приводит к нужной оценке.
§ 12.5
1. Сначала докажем формулу (1) для функций /, являющихся индикаторами множеств из 38r X S?~'- требуется доказать, что почти наверное
Р {со: (т) (со), q>f (со)) е= А | = FA (т\), (*)
где
Fa (х) = Р {со: (х, со) еД}, Ле#Х 3~-
Правая часть измерима относительно с, по определению
условного среднего (*) означает, что для любого С ^9~t
Р (С n {to: (л (to), ф, (to)) ^ -4}) = ^ Рл (л) р №)• (* *)
с
Обе части здесь — меры как функции от А, так что достаточно доказать эту формулу для множеств А из некоторого полукольца, порождающего о-алгебру № X В качестве такого полукольца возьмем систему множеств вида
ш): 1ёГ; wt (ш) еГр ..., wt (to) е Г(г|>
где Г, Tj....Гп—борелевские множества. Для множеств из этого
полукольца
f м = хг м р е г!...............wtn s г„}=
(* *) принимает такой вид:
Р (С Л {Л е= Г} Л {«0,+^ .....wt+,n - wf е= Г„}) =
= P{wtl е Гг • • •> wtn s Г„} \ Хг (л) dP,
С
и истинность этого равенства вытекает из независимости приращений и однородности винеровского процесса.
Произвольную неотрицательную измеримую функцию f (я, со) представляем в виде монотонного предела линейных комбинаций индикаторов:
п2П -1
384
<Л2 sup M|*(T|B)-*(T|0)|*<-^l->o.
| и — v \ ^ hfn п
s^Cu, v=Cs + h
3. дгг (Л, х) < 4М I ift (х; ш) I2 + 4 j * |2 +
+ 4М
? <’r(W*(jc; “))[
w{k + l )h/n wkhjn]
fe=0
+
+ 4M
n- 1
? 6 (hh/n <*; ®))A
k = 0
Для первого слагаемого оценка уже получена; третье равно
П - I
4> > М io]ilbh,^\z — | <4гг/1Кг max М| |ц р,
i, } = 1 - ft = О J
0<u< ft
четвертое слагаемое не превосходит
4А
< 4л/г /С max М I | I
а М | gu (х; со) |2 уже оценено.
4. Из формулы (11) получаем
II P‘f~f II «? /II Lf II — 0 (/|0).
5. Из той же формулы получаем
I |r‘(p'/-/)-i/ll = t
= t
^ (PsLf-Lf) ds
< max ||PSL/-Lf ||^0(H0).
0<s<f
6. Стохастические уравнения: dwf = dwt, di,t = wtdt; коэффициенты: bl =0, b2 (x, y) — x, aj = 1, прочие — нули. Отсюда
a11 = 1, a12 = a21 = a22 =0; L -
_a_
2 d*2 + * dy ¦
7. Из оценки M | It (х; со) — (;/; а>) |2 ^ 3 | jc — у j2 ехр {3L2X
X [r2t + г/2]} вытекает, что lim (Р) t,t (у’> <*>) = ?<(•*; со); из схо-.
у->х
димости по вероятности следует слабая сходимость распреде-
лений: Р (t, */,•)-> Р (t, х, •). Это и есть феллеровское свойство.
8*. Коэффициенты диффузии и сноса суть соответственно 1 и —дс/(1— s) (см. задачу 3* § 11.2); полагая а = 1, выписываем стохастическое уравнение; dZ(t) = dwt-------\ ^ (это
случай, не рассмотренный нами: неоднородный по времени и с особенностью в коэффициенте сноса).
§ 13.1
Решения задач этого параграфа можно получить, воспроизводя в более простой обстановке решения задач и доказательства микротеорем следующего параграфа; но полезно сначала заняться задачами, связанными с цепями Маркова, а потом только обратиться к диффузионным процессам.
