Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
ОО
рить, что (rj — Лоо» Л) = 0 для fj еЯ,». При т^п имеем (Ч — П-п. т|) = 0 для т) е Нп. устремляя т к оо, получаем, что (*1 — Т)оо, л) = 0 для rj е Нп. Это означает, что (т| — т^, rj) = О
ОО
для всех r\ е |J Нп, и доказательство заканчивается переходом п = \
к замыканию.
2. Расстояние от вектора до его проекции непрерывно зависит от вектора.
4, Нанлучшая оценка: ц = 1. i. ш. М (г\ | ^ ^ ^ при не-
n->oo , \ I п/
котором выборе последовательности t................ ... еГ. Но
в случае совместно нормально распределенных случайных величии условное математическое ожидание одной из них относительно других есть линейная функция от них. Иначе говоря,
354
проекция ti на ??( t , совпадает с проекцией т) на
I I' ' п) л
H,t t . и принадлежит Ит. Значит, также и т] е Ит.
1 1’ Л/
§ 4.1
1. Производная стационарного в широком смысле процесса, если существует, всегда имеет нулевое математическое ожидание.
2. В случае непрерывного времени
2
м
и
dt — m
й
t г—ti
= 2(t2 — ti) ‘Re ^
0
t
если только lim t 1 \ К (u) du — 0.
J (и).
3
3*. Смешанный момент находим как
<Эг i dz:
Далее, (s) = Мг15+цт1ы — Mris+jjMriu = К (О2 + Я («)2 +
+ AT (s + f)/C (s — t) — К (t)2 = /С (s)2 - К (s + t) К (s - t) -> 0 при s -» oo; рассматриваемая оценка состоятельна.
§ 4.2
1. Спектральная мера складывается из дискретной меры со значениями т2/4 в точках ±Л и из абсолютно непрерывной
с плотностью -^-f (Л. + Л) + —f (Л. — Л).
2. J (1 -e~iK)~l einXl(dk), /т,(Я)=(2-2созЯ)-1Х -я, п]
п
X f^ (Л,), причем для существования т)п нужно ^ (2 — 2 cos Л.)-1 X
Х^(Я)ЙЯ<оо.
3. Уравнение, описывающее схему: Сщ + Ясно,
что для стационарного решения Mri, = ЯЩ( = RI0. Из |( = /0 +
ОО
+ J eiUl(dk) получаем
— оо
ОО
тЬ = Я/о+ \ Р (аг1 eiKtadk),
353
где P(iX) = R~l + CiX. Спектральная плотность вычисляем дисперсию (например, пользуясь вычетами):
ОО
*4= S f4(X)dX = (RM)V(\+RCa).
— ОО
§ 4.3
2. Докажем второе. Пусть gin-^-gi в среднем квадратическом, g2n^>~ g2 равномерно, где
gin (X) = C\n\eik + C\n2e2ik + с,лзе3(^ + ¦.
gin (X) = с2по + c2nleik + c2n2elik + d2nze^ik ...
(суммы — конечные). Легко видеть, что
Вы W &2п W ~ С1п1С2пОе>^ + (С1л1С2л1 + С1п2С2по) е2<^+ • • - е ^>0. При этом g\ng2n gig2 в среднем квадратическом:
llg'lng'2n ------------- glg2lli2< II (gin — gl) gin ll/_2 + Hgl (g2n - g2)ll/,I
< llgln — g 1 h* II gin lie + II ff I III* II gin — gi lie -> 0.
3. f(i) = /,WM4. где /, (X) = (4 + Зе-‘'хГ1 =
--^г-е ~1Я + -Д-е _ Имеем
16 64
Г (-3)" , (~3)m+l q
|_ 4m + I 4m+2
\m+2
Теория непосредственно применима лишь в случае М?гг = 0; поэтому положим — M?n = gn — 2. Наилучший прогноз
есть
(?m)<0=2 + (^)<о = 2 + (“I") ^>=2+(~т) ^о-2)-
Вычислите сами средний квадрат ошибки прогноза.
4*. f (X) = f, (X)ft(X), f, (X) = 1 + e~‘k; формула (5) дает g(X) = (l + e~ik) . Применение этой формулы не обосновано! но оказывается, что действительно g — проекция е‘к на замкнутую оболочку {eink, п <1 О}, т. е. имеет место формула (1):
Я
^ [eik-{\ + e-ik)~X\ (l + e~ik){\ + eik) e~ink dX = 0, л<0.
— Я
356
Остается найти элемент пространства Я<0, соответствующий g(X) (мы предполагаем М?Г1 = 0). Функция g(X) не разлагается в ряд Фурье, так что формула (6) неприменима. Однако
можно воспользоваться, например, тем, что 1 ->
->(l+e“1*') при 1 в смысле сходимости в L2(d[i); получаем такое выражение для наилучшего линейного прогноза:
№.)<„= ^ 'i1.11' — — • • •)•
\ q f i
Средний квадрат ошибки прогноза равен л
(j I elk-g(X) |2f(A)rfA = 2n,
— л
т. е. половине дисперсии оцениваемой величины.
6*. Из сказанного очевидно, что искомая последовательность не должна иметь спектральной плотности, и мы находим пример: /((0) = 1, К(п) = 1/2 при п ф 0. Случайная последовательность с такой корреляционной функцией получается из последовательности некоррелированных случайных величин прибавлением одной и той же для них всех случайной величины.
